指数与指数函数
共1021题

指数与指数函数
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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知椭圆C的极坐标方程为，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，），求点F1，F2到直线的距离之和。

正确答案

见解析

解析

（1）直线普通方程为；

曲线的普通方程为。

（2）∵,，

∴点到直线的距离点到直线的距离

∴.

知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.

（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？

（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?

正确答案

（1）88（元）（2）当x=12时 f（x）有最小值393元

解析

解析: （1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用

P=70+=88（元） …………2分

（2）1）当x≤7时 y=360x+10x+236=370x+236 ………3分

2）当 x>7时 y=360x+236+70+6[（）+（）+……+2+1]

= ∴……6分

∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f（x）元

……8分

当x≤7时当且仅当x=7时,f（x）有最小值（元）

当x＞7时=≥393

当且仅当x=12时取等号 ∵393<404 ∴当x=12时 f（x）有最小值393元 ……12分

知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知矩阵不存在逆矩阵，求实数的值及矩阵的特征值。

正确答案

见解析。

解析

由题意，矩阵的行列式，解得，

矩阵的特征多项式

，

令并化简得，

解得或，

所以矩阵的特征值为0和11。

知识点

指数函数的图像变换

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的定义域为

正确答案

解析

或;.故所求定义域为.

知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

单选题 · 5 分

一个三棱锥的三视图如图所示，则其左视图直角三角形的面积是（　　）

正确答案

解析

由题意可知，几何体的左视图是直角三角形，高为，另一直角边长是俯视图的高：，

所以其左视图直角三角形的面积是：=；故选A。

知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数

（1）若求的值；

（2）求函数的单调区间。

正确答案

见解析。

解析

（1）

由可得所以.

（2）当

即时，单调递增。

所以，函数的单调增区间是

知识点

指数函数的图像变换

题型：单选题

单选题 · 5 分

气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：

① 甲地：5个数据的中位数为，众数为；

② 乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；

③ 丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为，

则肯定进入夏季的地区有 ( )

A0个

B1个

C2个

D3个

正确答案

解析

甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 0C，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，，若，上式显然不成立，乙地不一定进入，如13，23，27，28，29。

知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

简答题 · 10 分

正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点。

（1）求证：AB1⊥平面A1BD；

（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，

取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则。

∴，，。

∵，。

∴，，

∴AB1⊥面A1BD。

（2）设平面A1AD的法向量为，。，

∴，∴，⇒，

令z=1，得为平面A1AD的一个法向量，由（1）知AB1⊥面A1BD，

∴为平面A1AD的法向量，，

∴二面角A﹣A1D﹣B的余弦值为。

知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆经过点,离心率,直线与椭圆交于两点(均异于点),且有.

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线过定点。

正确答案

见解析

解析

解：（1）易知,,,∴,,.故方程为

（2）证明：设：与椭圆的方程联立,消去得,

设,则.

∴.

若,则：,

∴直线过定点.

若,则：,∴直线过定点, 即为点(舍去).

若斜率不存在,易知,符合题意. 综上,直线过定点

知识点

指数函数的图像变换

题型：简答题

简答题 · 10 分

设。

（1）解不等式；

（2）若对任意实数，恒成立，求实数a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1），

画出函数的图像如图，的解

为或。

的解集为或

（2），即，

知识点

指数函数的图像变换

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