热门试卷

（1）当时,抛物线方程为,由题意,设、，

则  ，相式相减得： ①，因为M（5，-2）点恰好是AB的中点，显然直线AB与x轴垂直不满足题设条件 , 设直线AB的斜率为k，由于,由①式得,故；所以直线AB的方程是,即

（2）设在抛物线上存在定点，又设，直线AB的方程为L：，它与抛物线相交，由方程  可得，故，，由NA⊥NB，所以，即

=

=，所以，，故直线AB的方程可以写成为：，由于直线AB过点(5,-2).故有 （i），当且仅当,或时,（i）式恒成立。

由此可得：①当时，存在定点N（1，2）；②当p=时，存在定点N（4，2）.③当且、时，不存在这样的定点N。

（1）由， 得           

又（，

则得

所以，当时也满足，                 

（2），所以，使数列是单调递减数列，

则对都成立，

即，

，

当或时，所以，    

本题考查运用导数知识研究函数的图象与性质、函数的应用、不等式问题、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.

（1）∵，，故，………………1分

令得；令得。 ………………3分

所以的单调递增区间为；单调递减区间为，………………4分

（2）由变形得：，……………5分

令函数，则在上单调递增，……………6分

即在上恒成立，……………7分

而（当且仅当时取“=”）

所以，………………9分

（3）证明：不妨设，由得：

其中，故上式的符号由因式“”的符号确定。

令，则函数。

，其中，得，故。即在上单调递减，且。所以。

从而有成立。

该不等式能更进一步推广：

已知，是互不相等的实数，若正实数满足，则。

下面用数学归纳法加以证明：

i）当时，由（2）证明可知上述不等式成立；

ii）假设当时，上述不等式成立，即有：。

则当时，由得：，于是有：

。

在该不等式的两边同时乘以正数可得：。

在此不等式的两边同时加上又可得：。

该不等式的左边再利用i）的结论可得：，整理即得：。

所以，当时，上述不等式仍然成立。

综上，对上述不等式都成立，………………14分

（1），

令F′(x)＝0，得，

∴当0＜x＜时，F′(x)＜0，F(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，F′(x)＞0，F(x)在(，＋∞)上单调递增。

∴当x＝时，F(x)有极小值，也是最小值，

即F(x)min＝F()＝e－2eln＝0.

∴F(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)，最小值为0.（7分）

（2）由（1）知，f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点(，e)，

∴猜想：一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点(，e)处的公切线，

其方程为y＝2x－e.

下面证明：当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立。

∵f(x)－(2x－e)＝(x－)2≥0，∴f(x)≥2x－e对x＞0恒成立。

又令G(x)＝2x－e－g(x)＝2x－e－2eln x，∴G′(x)＝，

∴当0＜x＜时，G′(x)＜0，G(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，G′(x)＞0，G(x)在(，＋∞)上单调递增。

∴当x＝时，G(x)有极小值，也是最小值，

即G(x)min＝G()＝2e－e－2eln ＝0，∴G(x)≥0，即g(x)≤2x－e恒成立。

故存在一次函数y＝2x－e，使得当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立.（14分）

本小题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想。

（1）由三个数的均值不等式得：

（当且仅当即时取“=”号），故有，……4分

（2），由柯西不等式得：

（当且仅当即时取“=”号）

整理得：，即，………………7分

（1）设函数的周期为，

，所以，

（2）∵，

∴。

∴。