热门试卷

过点A的切线方程为y=x+1. 

切线交x轴于点B(-1，0)，交y轴交于点D(0，1)，则D是AB的中点，

所以，                          ①

由 ②

同理由 =λ1， 得=(1+λ1)，              ③

=λ2， 得=(1+λ2)，             ④

将②、③、④式代入①得。

因为E、P、F三点共线，所以，

再由λ1+λ2=1，解之得，

（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心。

所以，，

解得x0=3x，y0=3y-2，代入y02=4x0得，(3y-2)2=12x。

由于x0≠1，故x≠3.所求轨迹方程为(3y-2)2=12x (x≠3)， 

（1）∵⊥平面 ABCD，∴。

底面是正方形，。

与是平面内的两条相交直线，∴⊥平面。

平面，∴平面平面。 ………（4分）

（2）过作于，则。

∵⊥平面 ABCD，平面。

在中，求得。

而，

所以四棱台的体积。    …………（8分）

（3）设与交于点O，连接。

过点B在平面内作于M，连接。

由（1）知⊥平面，。

所以平面， 。

所以，是二面角的平面角。

在中，求得，从而求得。

在中，求得，同理可求得。

在中，由余弦定理，求得。…………（12分）

（1）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，

所以A1O⊥AC。

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，

所以A1O⊥平面ABC；

（2）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。

由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，

所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，），C1（﹣2，0，），E（﹣1，，）

则有：=（﹣1，，）

设平面A1AB的法向量为=（x0，y0，z0），则由，可得

故可取

∴

∵OE⊄平面A1AB

∴OE∥平面A1AB；

（3）解：∵C（﹣1，0，0），∴=（﹣1，0，﹣）

∵平面AA1B的一个法向量为

∴|=||=

∵因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量与所成锐角互余，

∴sinθ=

解析：（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，

∴。

在正方形中，，

∵，∴平面，∵平面，

∴平面平面。 ……………………………………………6分

（2）∵平面，平面，

∴。

∴为圆的直径，即。

设正方形的边长为，

在△中，，

在△中，，

由，解得，。 ∴。

过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，∴。∵，

∴平面。∵平面，

∴。∵，，

∴平面。∵平面，∴。

∴是二面角的平面角。…………………………………9

在△中，，，，

∵，∴。

在△中，，∴。

故二面角的平面角的正切值为。 …………………………12

（1）在中，，，

∴，

在中，，，∴，

∴

则

（2）建立如图所示的空间直角坐标系

,,,, , ,

，，

设平面AEF的一个法向量为

由

取，得，即

又平面PAC的一个法向量为

    ∴平面平面

（3）易知平面ACD的一个法向量为

设平面的一个法向量为

由

取，得,

又因为二面角为锐角

∴二面角的大小为30°

因AE=AC，AB为直径，

故∠OAC=∠OAE，  

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC。

又∠EAC=∠PDE，

所以，∠PDE=∠POC，