直线、圆的位置关系
共2039题

直线、圆的位置关系
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题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线C1，（为参数）与曲线C2：，（θ为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的长为______．

正确答案

在直角坐标系xOy中，已知曲线C1，（为参数），消去参数t，化为直角坐标方程为 2x+y-5=0．

曲线C2：，（θ为参数），即 x2+y2=9，表示以原点为圆心、半径等于3的圆．

由于圆心到直线的距离为 d==，由弦长公式可得弦长AB=2=4，

故答案为 4．

题型：简答题

简答题

已知圆E经过点A（2，-3）、B（-2，-5），且圆心在直线x-2y-3=0上．

（1）求圆E的方程；

（2）若直线x+y+m=0与圆E交于P、Q两点，且 EP⊥EQ，求m的值．

正确答案

（1）∵圆心E在直线x-2y-3=0，可设圆心E（2b+3，b ）．

由|EA|=|EB|可得 =，

平方化简可得 5b2+10b+10=5b2+30b+30，

解得 b=-2，故点E（-1，-2）．

由两点间距离公式得r2 =|EA|2=10，

所以，圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=10．

（2）由题意可得△EPQ为等腰直角三角形，EP=EQ=r=，

设圆心到直线PQ的距离为d，可得 d=，

再由点E（-1，-2），PQ的方程为x+y+m=0，故有 =，

解得m=3±．

题型：简答题

简答题

已知圆C1的圆心在直线l1：x-y=0上，且圆C1与直线x=1-2相切于点A（1-2，1），直线l2：x+y-8=0．

（1）求圆C1的方程；

（2）判断直线l2与圆C1的位置关系；

（3）已知半径为2的动圆C2经过点（1，1），当圆C2与直线l2相交时，求直线l2被圆C2截得弦长的最大值．

正确答案

（1）∵圆C1与直线x=1-2相切于点A(1-2，1)，

∴圆心C1在直线y=1上，…（1分）

又圆心C1在直线x-y=0上，

∴圆心C1为直线y=1和直线x-y=0的交点，即点（1，1）．…（2分）

∵圆C1与直线x=1-2相切，

∴圆C1的半径等于点（1，1）到直线x=1-2的距离，

即圆C1的半径为|1-(1-2)|=2

∴圆C1的方程为（x-1）2+（y-1）2=8…（5分）

（2）∵圆心C1到直线l2的距离为d==3＞2…（7分）

∴直线l2与圆C1相离．…（8分）

（3）由已知，可设圆C2的方程为（x-a）2+（y-b）2=8，

∵圆C2经过点（1，1），

∴（1-a）2+（1-b）2=8，即（a-1）2+（b-1）2=8，

∴圆C2的圆心C2（a，b）在圆C1上．…（10分）

设直线l2：x+y-8=0与圆C2的交点分别为M，N，MN的中点为P，

由圆的性质可得：|MN|2=4(8-|C2P|2)，

所以求直线l2被圆C2截得弦长MN的最大值即求C2P的最小值．…（12分）

又因为C1到直线l2的距离为d=3，

所以C2P的最小值为d-|C1C2|=3-2=，

所以(|MN|2)max=4[8-(

)2]=24，

即MNmax=2，

故直线l2被圆C2截得弦长的最大值为2．…（14分）

题型：简答题

简答题

已知圆C以（3，-1）为圆心，5为半径，过点S（0，4）作直线l与圆C交于不同两点A，B．

（Ⅰ）若AB=8，求直线l的方程；

（Ⅱ）当直线l的斜率为-2时，过直线l上一点P，作圆C的切线PT（T为切点）使PS=PT，求点P的坐标；

（Ⅲ）设AB的中点为N，试在平面上找一点M，使MN的长为定值．

正确答案

（Ⅰ）圆心C坐标（3，-1），半径r=5，

由条件可知：圆心C到直线l的距离为3．（3分）

当斜率不存在时，x=0符合条件；（4分）

当直线l斜率存在时，设其为k，

则=3⇒k=-，

则直线l的方程为8x+15y-60=0．

综上，直线l方程是8x+15y-60=0或x=0；（6分）

（Ⅱ）知直线l方程为y=-2x+4，设点P（a，4-2a），

则由PC2-r2=PS2得：a2+4a2=（a-3）2+（5-2a）2-25，

⇒a=，

所求点P为(，)；（10分）

（Ⅲ）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半有：

定点M的坐标为 (，)．（16分）

题型：简答题

简答题

已知圆心为C的圆经过点A（-1，1）和B（-2，-2），且圆心在直线L：x+y-1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．

正确答案

设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，得到圆心坐标为（a，b），半径为r，

将A与B坐标代入圆方程得：（-1-a）2+（1-b）2=r2，（-2-a）2+（-2-b）2=r2，

消去r，整理得：a+3b+3=0①，

将圆心坐标代入x+y-1=0得：a+b-1=0②，

联立①②解得：a=3，b=-2，r2=（-1-3）2+（1+2）2=25，

则圆C的标准方程为（x-3）2+（y+2）2=25．

题型：填空题

填空题

点P（x，y）在直线x+y-4=0上，则x2+y2的最小值是______．

正确答案

原点到直线x+y-4=0的距离．

点P（x，y）在直线x+y-4=0上，则x2+y2的最小值，

就是求原点到直线的距离的平方，为：(

)2=8

故答案为：8

题型：填空题

填空题

若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则（a-2）2+（b-2）2的最小值为______．

正确答案

把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+（y+1）2=4，

∴圆心M坐标为（-2，-1），半径r=2，

∵直线l始终平分圆M的周长，

∴直线l过圆M的圆心M，

把M（-2，-1）代入直线l：ax+by+1=0得：

-2a-b+1=0，即2a+b-1=0，

∵（2，2）到直线2a+b-1=0的距离d==，

∴（a-2）2+（b-2）2的最小值为5．

故答案为：5

题型：简答题

简答题

已知直线l的方程为：2x-y+m=0，⊙O的方程为：x2+y2=10．

（1）当l被⊙O截得弦长为2时，求m的值．

（2）当l与⊙O相交且交点处的两条半径互相垂直时，求m的值．

正确答案

题型：填空题

填空题

点P（x，y）满足：x2+y2-4x-2y+4≤0，则点P到直线x+y-1=0的最短距离是______．

正确答案

x2+y2-4x-2y+4=0的圆心（2，1），半径为1，圆心到直线的距离为：=，

点P到直线x+y-1=0的最短距离是-1；

故答案为：-1．

题型：填空题

填空题

直线x-y-1=0被圆x2+y2-4x-5=0所截得的弦长为______．

正确答案

圆x2+y2-4x-5=0化为标准方程得：（x-2）2+y2=9，

∴圆心坐标为（2，0），半径r=3，

∴圆心到直线x-y-1=0的距离d==，

则直线被圆截得的弦长为2=．

故答案为：

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