- 立体几何与空间向量
- 共3353题
在四棱锥中,
平面
,
是正三角形,
与
的交点
恰好是
中点,又
,
,点
在线段
上,且
。
(1)求证:;
(2)求证:平面
;
(3)求二面角的余弦值。
正确答案
见解析
解析
(1)因为是正三角形,
是
中点,
所以,即
………………1分
又因为,
平面
,
………………2分
又,所以
平面
………………3分
又平面
,所以
………………4分
(2)在正三角形中,
………………5分
在中,因为
为
中点,
,所以
,所以
,所以
………………6分
在等腰直角三角形中,
,
,
所以,
,所以
………………8分
又平面
,
平面
,所以
平面
………………9分
(3)因为,
所以,分别以
为
轴,
轴,
轴建立如图的空间直角坐标系,
所以
由(2)可知,
为平面
的法向量 ……………10分
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
令则平面
的一个法向量为
………………12分
设二面角的大小为
, 则
所以二面角余弦值为
………………14分
知识点
棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是()
正确答案
解析
略
知识点
已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( )
正确答案
解析
略
知识点
某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
正确答案
解析
略
知识点
抛物线绕
轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的体积是
正确答案
解析
略
知识点
如图1,四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,面ABCD是直角梯形,M为侧棱PD上一点,该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示。
(1)证明:BC⊥平面PBD;
(2)证明:AM∥平面PBC;
(3)线段CD上是否存在点N,使AM与BN所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点N,并求CN的长;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)证明:由俯视图可得,BD2+BC2=CD2,
∴ BC⊥BD。
又∵ PD⊥平面ABCD,
∴ BC⊥PD,
∵ BD∩PD=D,
∴ BC⊥平面PBD。
(2)证明:取PC上一点Q,使PQ:PC=1:4,连接MQ,BQ。
由左视图知 PM:PD=1:4,∴ MQ∥ CD,。
在△ BCD中,易得∠ CDB=60°,∴ ∠ ADB=30°。
又 BD=2,∴ AB=1,。
又∵ AB∥ CD,,
∴ AB∥ MQ,AB=MQ。
∴ 四边形ABQM为平行四边形,
∴ AM∥ BQ。
∵ AM⊄平面PBC,BQ⊂平面PBC,
∴ 直线AM∥平面PBC。
(3)解:线段CD上存在点N,使AM与BN所成角的余弦值为,证明如下:
∵ PD⊥平面ABCD,DA⊥ DC,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz。
∴ 。
设 ,其中N(0,t,0)。
∴ ,
。
要使AM与BN所成角的余弦值为,则有
,
∴ ,解得 t=0或2,均适合N(0,t,0)。
故点N位于D点处,此时CN=4;或CD中点处,此时CN=2,有AM与BN所成角的余弦值为。
知识点
某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()
正确答案
解析
略
知识点
某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是_______.
正确答案
解析
略
知识点
一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是
正确答案
解析
略
知识点
某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是 。
正确答案
解析
略
知识点
某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是()
正确答案
解析
略
知识点
如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的全面积为
正确答案
解析
略
知识点
若一个三棱柱的底面是正三角形,其正(主)视图如图所示,则它的体积为
正确答案
解析
略
知识点
某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是
正确答案
解析
略
知识点
已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为,其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )
正确答案
解析
略
知识点
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