热门试卷

（1）由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝＝2.

又曲线y＝f(x)的一个对称中心为，φ∈(0，π)，

故，得，所以f(x)＝cos 2x.

将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cos x的图象，再将y＝cos x的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以g(x)＝sin x.

（2）当x∈时，＜sin x＜，0＜cos 2x＜，

所以sin x＞cos 2x＞sin xcos 2x.

问题转化为方程2cos 2x＝sin x＋sin xcos 2x在内是否有解。

设G(x)＝sin x＋sin xcos 2x－2cos 2x，x∈，

则G′(x)＝cos x＋cos xcos 2x＋2sin 2x(2－sin x)。

因为x∈，所以G′(x)＞0，G(x)在内单调递增。

又，，

且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，

即存在唯一的x0∈满足题意。

（3）依题意，F(x)＝asin x＋cos 2x，令F(x)＝asin x＋cos 2x＝0.

当sin x＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos 2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，

所以方程F(x)＝0等价于关于x的方程，x≠kπ(k∈Z)，现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程的解的情况。

令，x∈(0，π)∪(π，2π)，

则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况。

，令h′(x)＝0，得或.

当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：

当x＞0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，

当x＜π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，

当x＞π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，

当x＜2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞。

故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；

当a＜－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；

当－1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点。

由函数h(x)的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，nπ)内恰有2 013个交点；

又当a＝1或a＝－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n＝671×2＝1 342.

综上，当a＝1，n＝1 342或a＝－1，n＝1 342时，函数F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点。