热门试卷

（1）当k不存在时，x=2满足题意；

当k存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），

由=2得，k=-，

则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0；

（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，-），这两点的距离为2，满足题意；

当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，

设圆心到此直线的距离为d，

∴d==1，即=1，

解得：k=，

此时直线方程为3x-4y+5=0，

综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1；

（3）设Q点的坐标为（x，y），

∵M（x0，y0），=（0，y0），=+，

∴（x，y）=（x0，2y0），

∴x=x0，y=2y0，

∵x02+y02=4，

∴x2+（）2=4，即+=1．

（Ⅰ）设M（x，y），依题意有：=2，

∴=2，（2分）

整理得曲线C的方程为（x-4）2+y2=4．（4分）

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，要使线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点，只需曲线C的圆心（4，0）到直线l的距离小于圆的半径2．

∴＜2，

解得，-＜k＜．（7分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则有0＜x1＜x0＜x2．

当k=0时，A（2，0），B（6，0），

由=知，=，

∴x0=3，即点Q的坐标为（3，0）．（8分）

当k=时，由

得方程5x2-32x+48=0，∴x1+x2=，x1x2=

由=知，=，

整理得x0==3，∴y0=

∴即点Q的坐标为（3，）．（10分）

猜想，点Q在直线x=3上．（11分）

证明如下：

方法1，由

得（1+k2）x2-8x+12=0，（12分）

∴x1+x2=①，x1x2=②

由=知，=，

整理得x0==3

即点Q在定直线上，这条直线的方程是x=3．（15分）

（1）将方程消去t得直线l普通方程3x+4y+1=0…（2分）．

把 ρ=cos(θ+)化为  ρ2=ρ(cosθ•-sinθ•)…（4分），

得曲线C的直角坐标方程：x2+y2-x+y=0． …（6分）

（2）曲线C的圆心C(，-)，半径为，…（8分）

由点到直线距离公式得圆心到直线距离：d==，…（10分）

则弦长=2==． …（12分）

（1）直线系l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0，可以化成（2x-3y+7）+m（x+2y-14）=0，

∵方程组2x-3y+7=0；x+2y-14=0有解x=4；y=5，

∴l中的每一条都经过点M（4，5），

圆C：（x-3）2+（y-4）2=4的圆心是N（3，4），半径是r=2，

∵|MN|2=（4-3）2+（5-4）2=2＜4=r2，

∴点M在圆C内，

则过M的每一条直线都与圆相交，并且交于不同的两点A，B；

（2）过圆内一点的所有弦中，以直径为最长，以垂直于直径的弦长最小，

此时kMC==1，∴kAB=-1，

∴直线l方程为y-5=-（x-4），即x+y-9=0，

则|AB|最小时，直线方程是x+y-9=0．

（1）AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，所以直线AC的方程为：x=0，

又直线CD的方程为：2x-2y-1=0，联立得解得，所以C(0，-)，

设B（b，0），则AB的中点D(，)，代入方程2x-2y-1=0，解得b=2，所以B（2，0）；

（2）由A（0，1），B（2，0）可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0，

注意到BP也是圆M的弦，所以，圆心在直线x=上，

设圆心M坐标为(，n)，

因为圆心M在直线4x-2y-3=0上，所以2m-2n+1=0①，

又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以kMP=-1，

即=-1，整理得m-2n-2=0②，

由①②解得m=-3，n=-，

所以，圆心M(-，-)，半径MA==，

则所求圆方程为(x+

1

2

)2+(y+

5

2

)2=，化简得x2+y2+x+5y-6=0．

（1）直线的参数方程为，即．（5分）

（2）把直线代入x2+y2=4，

得(1+t)2+(1+t)2=4，t2+(+1)t-2=0，t1t2=-2，

则点P到A，B两点的距离之积为2．

（1）联立得：，

消去y得：5x2+2mx+m2-1=0，

由△=-16m2+20≥0，得-≤m≤，

则m的范围为[-，]；

（2）设直线与椭圆的公共点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则|AB|=|x1-x2|==，

∵m∈[-，]，

∴当m=0时，|AB|max=，此时直线l：y=x．

（1）∵m=1，∴圆C1的方程为（x+2）2+（y-5）2=4，直线l的方程为x-y+3=0，

所以圆心（-2，5）到直线l距离为：d==2＞2，

所以圆C1上的点到直线l距离的最小值为2-2；（4分）

（2）圆C1的圆心为C1（-2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b），

则解得：，

∴圆C2的方程为（x-2m）2+（y-m）2=4m2；

（3）由消去m得a-2b=0，

即圆C2的圆心在定直线x-2y=0上．（9分）

①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；

②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，

则=2|m|，即（-4k-3）m2+2（2k-1）•b•m+b2=0，

∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，

所以有：解之得：，

所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=-x，

故所求圆的公切线为x=0或y=-x．（14分）