直线、圆的位置关系
共2039题

直线、圆的位置关系
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题型：简答题

简答题

若直线y=kx+2与圆（x-2）2+（y-3）2=1有两个不同的交点，求k的取值范围？

正确答案

∵直线与圆有两个不同的交点，

∴直线与圆相交，即圆心到直线的距离d＜r，

∴＜1，

解得：0＜k＜，

则k的取值范围为（0，）．

题型：简答题

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-），点M的极坐标为（6，），直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．

正确答案

圆C的直角坐标方程为（x-）2+（y-1）2=4．…（3分）

点M的直角坐标为（3，3），

当直线l的斜率不存在时，不合题意；

当直线的斜率存在时，设直线l的方程为；y-3=k（x-3），

圆心到直线的距离为r=2，…（6分）

因为圆心到直线l的距离 d==2，

所以k=0或k=．

故所求直线的方程为y=3或x-y-6=0，

其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin（-θ）=3…（10分）

题型：填空题

填空题

已知圆C：（x-2）2+（y+1）2=2，过原点的直线l与圆C相切，则所有切线的斜率之和为______．

正确答案

依题意得：切线l的斜率存在，设为k，

则直线l的方程为y=kx，

∵直线l与圆C相切，

∴圆心到切线的距离d=r，即=，

整理得：2k2+4k-1=0，

由韦达定理得：k1+k2=-2，

则所有切线的斜率之和为-2．

故答案为：-2

题型：填空题

填空题

过点(，-2)的直线l经过圆：x2+y2-2y=0的圆心，则直线l的倾斜角大小为______．

正确答案

圆x2+y2-2y=0的圆心坐标（0，1），所以直线l的斜率k==-，

设直线l的倾斜角为α，所以tanα=-，∴α=120°

故答案为：120°．

题型：简答题

简答题

动圆C的方程为x2+y2+2ax-4ay+5=0．

（1）若a=2，且直线y=3x与圆C交于A，B两点，求弦长|AB|；

（2）求动圆圆心C的轨迹方程；

（3）若直线y=kx-2k与动圆圆心C的轨迹有公共点，求k的取值范围．

正确答案

化x2+y2+2ax-4ay+5=0为标准方程得：（x+a）2+（y-2a）2=5a2-5

（1）a=2时，圆方程为：（x+2）2+（y-4）2=15与y=3x联立解得x1=1+，y1=3+；x2=1-，y2=3-，即A（1+，3+）、B（1-，3-），

由两点间距离公式，得|AB|=2；

（2）动圆圆心为（-a，2a），所以x=-a，y=2a，即y=-2x；

（3）因直线y=kx-2k=k（x-2）过定点（2，0），又与y=-2x有公共点，所以k≠-2（因为k=-2时两条直线平行）．

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）

若直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=3，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为______．

正确答案

直线的直角坐标方程为x+y-6=0，曲线C的方程为x2+y2=1，为圆；

d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax=+1=3+1

故答案为：3+1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1(a＞b＞0)的左焦点为F，左右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F，B，C三点作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．

（Ⅰ）当m+n≤0时，椭圆的离心率的取值范围．

（Ⅱ）直线AB能否和圆P相切？证明你的结论．

正确答案

（Ⅰ）由题意FC，BC的中垂线方程分别为x=，y-=(x-)，

于是圆心坐标为(，)．（4分）

m+n=+≤0，即ab-bc+b2-ac≤0，

即（a+b）（b-c）≤0，所以b≤c，于是b2≤c2＞c^即a2≤2c2，

所以e2≥，又0＜e＜1，∴≤e＜1．（7分）

（Ⅱ）假设相切，则kAB•kPB=-1，（9分）

∵kPB==，kAB=，∴kPB•kAB==-1，（11分）

∴a2-c2+ac=a2-ac，即c2=2ac，∵c＞0，∴c=2a这与0＜c＜a矛盾．

故直线AB不能与圆P相切．（13分）

题型：填空题

填空题

设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点P（3，-1），则直线AB的方程为______过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y-4=0相交所得的弦长为4，则该直线的方程为______．

正确答案

①由x2+y2-4x-5=0得：（x-2）2+y2=9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为=1，

根据垂径定理可知OP⊥AB

所以直线AB的斜率为-1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y-1=-1（x-3）即x+y-4=0

②设直线方程为y=kx，

圆x2+y2-2x-4y-4=0即（x-1）2+（y-2）2=9

即圆心坐标为（1，2），半径为r=3

因为弦长为4，圆心到直线的距离，=，

解得k=-2+或k=-2-，

所以该直线的方程为：y=（-2±）x

故答案为：x+y-4=0；（-2±）x-y=0．

题型：填空题

填空题

已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线ℓ垂直的直线的方程为______．

正确答案

由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为（a，0），

则由题意知：()2+2=(a-1)2，解得a=3或-1，

又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），

∵圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，

故所求的直线方程为x+y-3=0．

故答案为：x+y-3=0．

题型：填空题

填空题

圆（x-a）2+y2=1与双曲线x2-y2=1的渐近线相切，则a的值是______．

正确答案

圆（x-a）2+y2=1∴圆心坐标C（a，0），圆的半径为：1．

∵双曲线x2-y2=1的渐近线为x±y=0，

双曲线x2-y2=1的渐近线与圆（x-a）2+y2=1相切，

∴C到渐近线的距离为=1，解得a=±

故答案为：±．

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