直线、圆的位置关系
共2039题

直线、圆的位置关系
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题型：填空题

填空题

若曲线C1：（θ为参数，r＞0）与曲线C2：（t为参数）有公共点，则r的取值范围是______．

正确答案

曲线C1：即①2+②2消去θ，得曲线C1普通方程为x2+（y-1）2=r2，表示以C（0，1）为圆心，r为半径的圆．

曲线C2：两式相减消去t得曲线C2普通方程为x-y-2=0表示一条直线．

根据直线与圆的位置关系，若两曲线由公共点，只需圆心到直线的距离d小于或等于r，即r≥=

故答案为：[，+∞)

题型：简答题

简答题

（Ⅰ）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），若实数a＞0且过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；

（Ⅱ）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，求直线l的方程．

正确答案

（I）由条件知点M（1，a）在圆0上，∴1+a2=4，∴a=±．

又∵a＞0，∴a=．

∴kOM=，故切线的斜率 k切线=-，

∴切线方程为y-=-(x-1)，即：x+3y-4=0．

（Ⅱ）由曲线y=，可得 x2+y2=1 （y≥0）．

设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有2个交点，且与x轴不重合，则-1＜k＜0，

直线l的方程为 y-0=k（x-），即 kx-y-k=0．

圆心O到直线l的距离为d==，故半弦长为 =，

∴S△ABO=•===．

令t=，则S△ABO=，

故当t=，即=时，S△ABo取最大值为，此时由=，可得k=-，

∴直线l的方程为：-x-y+=0，即x+3y-=0．

题型：填空题

填空题

若直线3x+y+a=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心，则a的值为______．

正确答案

圆x2+y2-2x+4y=0的标准形式为：（x-1）2+（y+2）2=5，

∴圆心为（1，-2），

∵直线3x+y+a=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心，

∴点（1，-2）适合直线3x+y+a=0方程即3×1-2+a=0，解得：a=-1．

故答案为：-1．

题型：简答题

简答题

已知曲线C是到定点M（-2，0）距离除以到定点N（0，2）的距离商为的点的轨迹，直线l过点A（-1，2）且被曲线C截得的线段长为2，求曲线C和直线l的方程．

正确答案

设曲线C上任意一点的坐标为（x，y），由题意得 = =，化简可得

（x-2）2+（y-4）2=16，即为所求曲线C的方程．

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x=-1，代入曲线C的方程得 y=4±，此时的弦长为2，满足条件．

当直线l的斜率存在时，直线l的方程为 y-2=k（x+1），即 kx-y+k+2=0．

圆心到直线的距离 d====，∴k=-，

此时，直线l的方程为 5x+12y-19=0．

综上，曲线C的方程为（x-2）2+（y-4）2=16，直线l的方程为 x=-1，或 5x+12y-19=0．

题型：填空题

填空题

（极坐标与参数方程）已知点P（x，y）是曲线C上的点，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ-5=0，则使x-y+a≥0恒成立的实数a的取值范围为______．

正确答案

曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ-5=0，直角坐标方程为x2+y2+4x-5=0，即（x+2）2+y2=9

∴可令x=-2+3cosθ，y=3sinθ

∴x-y+a≥0恒成立，等价于a≥-x+y恒成立，即a≥2-3cosθ+3sinθ

∵2-3cosθ+3sinθ=2+6sin（θ-）

∴（2-3cosθ+3sinθ）max=6+2

∴a≥6+2

故答案为：[6+2，+∞）

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，求圆(α为参数)上的点到直线（t为参数）的最小距离．

正确答案

(α为参数)的普通方程为：x2+y2=4，直线（t为参数）的普通方程为3x+y-8=0，

平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上的点到直线3x+y-8=0的最小距离为：-2=．

所求最短距离为：．

题型：填空题

填空题

直线L：y=k（x+3）与圆O：x2+y2=4交于A、B两点，则当△AOB的面积最大时，k=______．

正确答案

由圆O：x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，

把直线l的方程为y=k（x+3），整理为一般式方程得：kx-y+3k=0，

∴圆心O（0，0）到直线AB的距离d=，（9分）

弦AB的长度|AB|=2=2，

∴S△ABC=|AB|d=d=≤=2，（11分）

当且仅当d2=2时取等号，S△ABC取得最大值，最大值为2，

此时=2，解得k=±．

故答案为：±

题型：填空题

填空题

点P是直线l：x-y-2=0上的动点，点A，B分别是圆C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆C2：x2+（y-3）2=1上的两个动点，则|PA|+|PB|的最小值为______．

正确答案

设圆C'是圆C2：x2+（y-3）2=1关于直线l对称的圆

可得C'（5，-2），圆C'方程为（x-5）2+（y+2）2=1

可得当点P位于线段C1C'上时，线段AB'长是圆C1与圆C'上两个动点之间的距离最小值

B'关于直线l对称的点在圆C2上，由平几知识得当圆C2上的

动点B与该点重合时，|PA|+|PB|达到最小值

∵|C1C'|==，

可得|AB'|=|C1C'|-r1-r2=-3

因此，|PA|+|PB|的最小值等于|AB'|=-3

故答案为：-3

题型：填空题

填空题

直线x-y=0与圆（x-3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=______．

正确答案

由圆的方程得到圆心坐标为（3，0），半径为r，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=r，

即=r，解得：r=．

故答案为：

题型：简答题

简答题

直线（t为参数）被曲线ρ=cos(θ+)所截得的弦长为______．

正确答案

把直线（t为参数）消去参数t，化为普通方程为 3x+4y+1=0．

曲线ρ=cos(θ+) 即 ρ2=ρ（cosθ-sinθ）=ρcosθ-ρsinθ，化为直角坐标方程为 x2+y2-x+y=0，即 (x-

)2+(y-

)2=，

表示以（，-）为圆心，半径等于的圆．

圆心到直线的距离为 =，故弦长为2=．

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