直线、圆的位置关系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（附加题-选做题）（坐标系与参数方程）

已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为ρsin(θ+)=-．

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．

正确答案

（1）由，α∈[0，2π），得x2+y=1，x∈[-1，1]．

（2）由ρsin(θ+)=-．

得曲线D的普通方程为x+y+2=0

得x2-x-3=0

解x=∉[-1，1]，故曲线C与曲线D无公共点．

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题型：填空题

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填空题

已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为______．

正确答案

圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0方程可化为（x-2）2+（y-2）2=（）2，

设A点的横坐标为a．

则纵坐标为9-a；

①当a≠2时，kAB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，

则可得k=，

直线AC的方程为y-（9-a）=（x-a）

即5x-（2a-9）y-2a2+22a-81=0，

又点C在圆M上，

所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，

即≤，

化简得a2-9a+18≤0，

解得3≤a≤6；

②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2

即x-y+5=0，M到它的距离d==＞，

这样点C不在圆M上，

还有x+y-9=0，显然也不满足条件，

综上：A点的横坐标范围为[3，6]．

故答案为：[3，6]．

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题型：简答题

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简答题

已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4和直线l：x+2y+2=0，直线m，n都经过圆C外定点A（1，0）．

（Ⅰ）若直线m与圆C相切，求直线m的方程；

（Ⅱ）若直线n与圆C相交于P，Q两点，与l交于N点，且线段PQ的中点为M，求证：|AM|•|AN|为定值．

正确答案

（Ⅰ）①若直线m的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意．

②若直线m斜率存在，设直线m为y=k（x-1），即kx-y-k=0．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，

即：=2，解之得k=．

所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．

（II）用几何法，如图所示，

△AMC∽△ABN，则=，

可得|AM|•|AN|=|AC|•|AB|=2•=6，

是定值．

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题型：填空题

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填空题

若P（2，1）为圆（x-1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为______．

正确答案

由圆（x-1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），

又P（2，1），∴kPC==1，

∴弦AB所在的直线方程斜率为-1，又P为AB的中点，

则直线AB的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

故答案为：x+y-3=0

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题型：填空题

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填空题

过点M（1，2）的直线l与圆C：（x-2）2+y2=9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为______．

正确答案

∵圆C方程为：（x-2）2+y2=9，∴圆心C的坐标为（2，0），半径r=3．

∵点M（1，2）为圆C内部一点，直线l经过点M（1，2）与圆C交于A、B两点，

∴根据圆的性质，当CM与l垂直时弦长AB最短，相应地∠ACB最小．

此时直线l的斜率与CM的斜率之积为-1．

∵kCM==-2，∴直线l的斜率k==，

由此可得直线l的方程为y-2=（x-1），化简得x-2y+3=0．

故答案为：x-2y+3=0

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题型：填空题

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填空题

已知F（c，0）是双曲线C：-=1(a＞0，b＞0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x-c)2+y2=c2相切，则双曲线C的离心率为______．

正确答案

∵双曲线方程为-=1，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0

又∵圆E：(x-c)2+y2=c2的圆心为F（c，0），半径为c

∴由双曲线C的渐近线与圆E相切，得=c，

整理，得b=c，即=c，可得c=a

∴双曲线C的离心率e==

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都与以点A(，0) 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个定点A1 与点A关于直线y=x对称，求双曲线C的标准方程______．

正确答案

设双曲线的渐近线为y=kx，即kx-y=0，

依题意知：=1，则k=±1，

所以渐近线为y=±x

∵A1 与点A关于直线y=x对称

∴A1 的坐标为(0，)

设所求双曲线的方程为x2-y2=λ（λ≠0）

代入A1 (0，)，得λ=-2

所以所求双曲线的方程为-=1．

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题型：填空题

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填空题

与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线与x轴，y轴的正半轴交于A、B且|oA|＞2，|OB|＞2，则三角形AOB面积的最小值为 ______．

正确答案

将圆C的方程化为标准式方程得（x-1）2+（y-1）2=1，圆心C（1，1），半径r=1

设A（a，0），B（0，b），则直线AB的方程为+=1，即bx+ay-ab=0，

圆心C（1，1）到直线AB的距离d=r=1即=1，两边平方得2ab-2ab（b+a）+a2b2=a2+b2，

∵ab≠0，∴2-2（b+a）+ab=0，∴（a-2）-b-2a+4=2，∴（a-2）（b-2）=2；

由|oA|＞2，|OB|＞2，可设a-2=m＞0，b-2=n＞0，且mn=2，

所以S△AOB=ab=（m+2）（n+2）=（mn+2m+2n+4）≥（mn+2+4）=3+2，当且仅当m=n即a=b时取等号．

所以三角形AOB面积的最小值为3+2

故答案为：3+2

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题型：简答题

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简答题

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

正确答案

（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0

∵该直线与圆x2+(y-)2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为-=1．

又双曲线C的一个焦点为(，0)，∴2a2=2，a2=1．

∴双曲线C的方程为：x2-y2=1．

（2）由得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2

∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．

因此，解得1＜m＜．又AB中点为(，)，

∴直线l的方程为：y=(x+2)．令x=0，得b==．

∵m∈(1，)，∴-2(m-)2+∈(-2+，1)，

∴b∈(-∞，-2-)∪(2，+∞)．

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题型：填空题

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填空题

直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点，则实数m取值范围是______．

正确答案

分两种情况：当直线y=-x+m过（0，1）时，将x=0，y=1代入得：m=1；

当直线y=-x+m与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离d=r，即=1，

解得：m=，

则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数m的取值范围是（1，）．

故答案为：（1，）

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