- 直线、圆的位置关系
- 共2039题
直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于______．
正确答案
圆x2+y2-6x-8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，
圆心到直线的距离为：
因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，
所以直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长为：2×
故答案为：4
已知双曲线
正确答案
圆x2+y2-6x+5=0化为（x-3）2+y2=4，∴圆心F（3，0），半径r=2．
∵以F为圆心的圆x2+y2-6x+5=0与此双曲线的渐近线y=±
∴
∴该双曲线的离心率e=
故答案为
已知直线l：
正确答案
由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=1，
把直线方程化为一般式方程得：
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=
化简得：a2=2，解得a=±
故答案为：±
过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长最短的直线方程为______．
正确答案
∵圆x2+y2-2x-4y=0的圆心为C（1，2）
∴设A（2，1），得AC的斜率kAC=
∵直线l经过点A（2，1），且l被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长最短
∴直线l与经过点A（2，1）的直径垂直的直线
由此可得，直线l的斜率为k=
因此，直线l方程为y-1=x-2，即x-y-1=0
故答案为：x-y-1=0
已知直线4x+3y-12=0截圆心在点C（1，1）的圆C所得弦长为2
（1）求圆C的方程；
（2）求过点（-1，2）的圆C的切线方程．
正确答案
（1）设圆C的半径为R，圆心到直线4x+3y-12=0的距离为d，则有 d=
故圆C的方程为：（x-1）2+（y-1）2=4．…（3分）
（2）当所求切线斜率不存在时，即 x=-1，满足圆心到直线的距离为2，
故x=-1为所求的圆C的切线．…（4分）
当切线的斜率存在时，可设方程为：y-2=k（x+1）即kx-y+k+2=0，则 d=
解得k=
所以所求圆的切线为：x=-1 与3x-4y+11=0．…（6分）
过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是______．
正确答案
如图，圆方程为（x+2）2+y2=1，圆心为A（-2，0），半径为1，
∴sinθ=
切线方程为：y=
故答案为：y=
已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0，其中a≠1，且a∈R．
（Ⅰ）求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；
（Ⅱ）求恒与圆相切的直线的方程．
正确答案
（Ⅰ）将方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0
整理得：x2+y2-4y+2+a（2x-2y）=0．
令
∴定点为（1，1）．
（Ⅱ）圆的圆心坐标为（a，2-a），半径为：
显然，满足题意切线一定存在斜率，
∴可设所求切线方程为：y=kx+b，即kx-y+b=0，
则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即
即2（1+k2）a2-4（1+k2）a+2（1+k2）=（1+k）2a2+2（b-2）（k+1）a+（b-2）2恒成立，
比较系数得
解之得k=1，b=0，所以所求的直线方程为y=x．
从点M（0，3）出发的一束光线射到直线y=4上后被该直线反射，反射线与椭圆
正确答案
将M变为虚拟光源M′（0，5），设反射线为：y-5=kx①
联立①和椭圆方程得
由|QA|=|PB|得反射线与椭圆两交点的y值和为4-3=1=
解得k=-
所以反射线所在直线的方程为：y-5=-
化简得：y=-
选修4-4：极坐标与参数方程选讲
已知：曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线ℓ的参数方程为：
（1）求曲线C与直线ℓ的普通方程；
（2）若直线ℓ与曲线C相切，求a值．
正确答案
（1）由曲线C的极坐标方程ρ=acosθ（a＞0）得ρ2=aρcosθ，化为普通方程C：x2+y2-ax=0，即(x-
由直线ℓ的参数方程
（2）曲线C的圆心C(
∵直线ℓ与圆C相切，
∴
设圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直线l的方程（m+1）x-my-1=0，对任意实数m，圆C与直线l的位置关系是______．
正确答案
由直线l的方程（m+1）x-my-1=0，可得m（x-y）+x-1=0，直线恒过（1，1）点，
圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，的圆心（1，1），
所以圆C与直线l的位置关系是：相交
故答案为：相交
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