热门试卷

（1）证明：曲线C的方程可变形为（x2+y2+2y-1）+（-2x-2y+2）a=0，

由，…（2分）

解得，点（1，0）满足C的方程，

故曲线C过定点（1，0）．…（4分）

（2）原方程配方得（x-a）2+（y-a+1）2=2（a-1）2；由于a≠1，所以2（a-1）2＞0，

所以C的方程表示圆心是（a，a-1），半径是|a-1|的圆．…（6分）

由题意得圆心到直线距离d=，…（8分）

∴|a-1|=，解得a=．…（10分）

（3）法一：由（2）知曲线C表示圆设圆心坐标为（x，y），则有，

消去a得y=x-1，故圆心必在直线y=x-1上．

又曲线C过定点（1，0），所以存在直线l与曲线C总相切，…（12分）

直线l过点（1，0）且与直线y=x-1垂直；

∴l方程为y=-（x-1）即y=-x+1．…（16分）

法二：假设存在直线l满足条件，显然l不垂直于x轴，设l：y=kx+b，

圆心到直线距离d=，

∴=|a-1|对所有的a∈R且a≠1都成立，…（12分）

即（k+1）2a2-2（2k2+k+kb-b+1）a+2（k+1）2-（b+1）2=0恒成立

∴∴

∴存在直线l：y=-（x-1）即y=-x+1与曲线C总相切．…（16分）

⊙C：（x+1）2+（y-2）2=4，圆心C（-1，2），半径r=2，

（1）若切线过原点设为y=kx，则=2，

解得：k=0或，

若切线不过原点，设为x+y=a，则=2，

解得：a=1±2，

则切线方程为：y=0，y=x，x+y=1+2和x+y=1-2；

（2）∵|PM|=|PO|，即=，

∴2x0-4y0+1=0，

对于|PM|==，

∵P在⊙C外，

∴（x0 +1）2+（y0-2）2＞4，

将x0=2y0-代入得5y02-2y0+＞0，

∴当y0=时，5y02-2y0+最小，此时|PM|最小，x0=2y0-=-，

∴|PM|min=，此时P（-，）．

（Ⅰ）点M（25，18）射到x轴上，关于x轴的对称点M′（25，-18）

所以反射光线过M′（25，-18），圆心（0，7）

所以直线为=

即y=-x+7；

（Ⅱ）A的取值范围是反射后射到圆C：x2+（y-7）2=25上，临界状态时的取值范围．

因为x轴的对称点M′（25，-18）

所以设直线y=k（x-25）-18，即kx-y-25k-18=0

利用圆心到直线的距离等于半径可得：=5

∴12k2+25k+12=0

∴k1=-，k2=-

所以对应的方程分别为：3x+4y-3=0，4x+3y-46=0

此时令A（x，0）

所以x分别为1，11.5

所以A的活动范围[1，11.5]．

（Ⅰ）因为32+(-2)2-2×3+4(-2)-4=0，所以，点P在圆上．   …（2分）

又因为圆心C（1，-2）所以 kCP=，…（3分）

所以切线斜率k=-=，…（4分）

所以方程为y-(-2)=-(x-3)，即2x+y-11+2=0．…（6分）

（Ⅱ）设这样的直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），

则由 可得2x2+2（b+1）x+b2+4b-4=0（*），…（7分）

∴．…（9分）

∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2．…（10分）

由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，

即b2+4b-4-b（b+1）+b2=0，b2+3b-4=0，∴b=1，或b=-4．…（12分）

容易验证b=1或b=-4时方程（*）有实根．

故存在这样的直线，有两条，其方程是y=x+1，或y=x-4．…（14分）

（1）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，

代入 椭圆3x2+y2=λ，整理得 （k2+3 ） x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0     ①

设 A （ x1，y1 ），B （x2，y2 ），则 x1，x2  是方程①的两个不同的根，

∴△=4k2 （k-3）2-4 （k2+3 ）[（k-3）2-λ]＞0  ②，且 x1+x2=．

由N（1，3）是线段AB的中点，得 =1，∴k（k-3）=k2+3，∴k=-1．

代和②得 λ＞12，即 λ 的取值范围是（12，+∞），于是直线AB的方程为 y-3=-（x-1），

即 x+y-4=0．

（2）∵CD垂直平分线段AB，∴直线CD的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0，

代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-λ=0     ③．

设 C（x3，y3 ），D  （x4，y4 ），CD的中点为 M（x0，y0 ），则 x3，x4 是方程③的两根，

∴x3+x4=-1，∴x0==-，y0=x0+1=，即 M（-，  ）．

又 M（-，  ）到直线AB的距离 d==，

故所求圆的方程为 (x+

1

2

)2+(y-

3

2

)2=．