热门试卷

（1）证明：设点P（x，y），

依题意，可得，

整理，得，

故动点P的轨迹方程为，

将直线EF的方程，代入圆C方程，

整理得，

根据根与系数的关系，得，，，……①

将直线GH的方程，代入圆C方程，

同理可得，，，……②

由①、②可得，所以结论成立。

（2）证明：设点，点，

由E、Q、H三点共线，得，解得，

由F、R、G三点共线， 同理可得，

由，

，

即，

。

解：：（I）设M（x，y），A（x0，y0）

∵M点满足 ，

∴（x0，y0）=（x﹣x0，y﹣y0）

∴ 

∵点A在圆x2+y2﹣2ax=0（a≠0）上

∴（ x）2+（ y）2﹣2a× x=0（a≠0）

∴曲线C的方程为x2+y2﹣4ax=0（a≠0）；

（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）

将直线y=x﹣1代入x2+y2﹣4ax=0，

整理得2x2﹣2（2a+1）x+1=0

∴ ， 

∴ 

∵ ，

∴x1x2+y1y2=﹣1

∴ 

∴a=1．

当a=1时，△=62﹣8＞0

∴a的值为1．

连接BD，

∵AB为平面直角坐标系xOy中单位圆O的直径，点D在第二象限内的圆弧上运动

∴AD=2cosθ，BD=2sinθ（其中＜θ＜）．…（2分）

在△BCD中，由弦切角定理得∠BDC=θ，又DC=AB=2，

∴△BCD面积为2sin2θ； …（4分）

又Rt△ABD的面积为2sinθ•cosθ．…（5分）

∴四边形ABCD的面积为S=2sinθ•cosθ+2sin2θ．…（6分）

因为S=sin2θ+（1-cos2θ） …（8分）

=sin（2θ-）+1 …（10分）

∴2θ-=，四边形ABCD面积取得最大值

所以当θ=时，四边形ABCD面积取得最大值+1．…（12分）

解析　（1）证明　直线m：kx-y+1=0可化为y-1=kx，

故该直线恒过点（0，1），而（0，1）在圆O：x2+y2=4内部，

所以直线m与圆O恒有两个不同交点．

（2）圆心O到直线m的距离为 d=，而圆O的半径r=2，

故弦AB的长为|AB|=2=2，

故△AOB面积S=|AB|×d=×2×d==．

而d2=，因为1+k2≥1，所以d2=∈（0，1]，

显然当d2∈（0，1]时，S单调递增，所以当d2=1，即k=0时，S取得最大值，

此时直线m的方程为y-1=0．

解：（1）∵O（0，0），A（6，2），

∴直线OA的方程斜率为=，

∴线段OA垂直平分线的斜率为﹣，

又线段AO的中点坐标为（3，），

∴线段OA垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0①，

又线段OB的垂直平分线为x=4②，

∴将②代入①解得：y=0，

∴圆心C的坐标为（4，0），

又|OC|=4，即圆C的半径为4，

则圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=16；

（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，又切线过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，

∴圆心到切线的距离d=r，即=4，

解得：k=，

则切线l的方程为：y﹣6=（x﹣2）； 

（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），

即kx﹣y+6﹣2k=0，

又弦长为4，半径r=4，

∴圆心到切线的距离d==2，即=2，

解得：k=﹣，

∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣2），

即4x+3y﹣26=0，

综上，直线l的方程为x=2或4x+3y﹣26=0．

（1）圆C的方程可化为（x+1）2+（y-2）2=2，

即圆心的坐标为（-1，2），半径为，

因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，

所以可设直线l的方程为 x+y+m=0，

于是有=，得m=1或m=-3，

因此直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0；

（2）因为圆心（-1，2）到直线x-y-5=0的距离为=4，

所以点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值依次分别为5和3．

解：（1）由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，解得m＜5；    

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立直线x+2y﹣4=0与圆的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

消去y，得：5x2﹣8x+4m﹣16=0，

由韦达定理得：

①，

②，

又由x+2y﹣4=0得，

由OM⊥ON得x1x2+y1y2=0，∴，

将①、②代入上式得 ，检验知满足△＞0，故为所求．

（Ⅰ）证明：圆C：的圆心为C（0，1），半径为，

∴圆心C到直线：mx-y+1-m=0的距离，

∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点。

（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，

∴，

设，则，

化简，得，

当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式，

故弦AB中点的轨迹方程是。

（Ⅲ）解：设，

由，得，

∴，化简得，                                            ①

又由，消去y，得， （*）

∴，                                                                              ②

由①②，解得，

代入（*）式，解得，

∴直线的方程为x-y=0或x+y-2=0。

解：（1）要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交，

即要证直线l横过过圆C内一点，

方法是把直线l的方程改写成

m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0可知，

直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点，

联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标，

然后利用两点间的距离公式

求出AC之间的距离d，判断d小于半径5，得证；

（2）根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径，

最短的弦是过A垂直于直径的弦，

所以连接AC，过A作AC的垂线，

此时的直线与圆C相交于B、D，

弦BD为最短的弦，接下来求BD的长，

根据垂径定理可得A是BD的中点，

利用（1）圆心C到BD的距离

其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长，

根据勾股定理可求出|BD|的长，

求得|BD|的长即为最短弦的长；

根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率，

然后根据两直线垂直时斜率乘积为

﹣1求出直线BD的斜率，

又直线BD过A（3，1），

根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程．