热门试卷

（1）证明：因为，所以，，

因为，所以平面。

因为平面，所以。

因为，所以，…

因为，所以平面。

因为平面，所以平面平面。

（2）

方法1：由已知及（1）所证可知，平面，，

所以是三棱锥的高。

因为，，设，

所以。

因为

，

当且仅当，即时等号成立，

所以当三棱锥的体积最大时，，

方法2：由已知及（1）所证可知，平面，

所以是三棱锥的高。

因为，设，

则，

所以，1

所以

。

因为，

所以当，有最大值，

此时，

所以当三棱锥的体积最大时，。

解法一：

（1）取BC中点O，连结AO交BD于点E，连结PO

∵PB = PC，∴PO⊥BC

又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD = BC

∴PO⊥平面ABCD

在直角梯形ABCD中

∵AB = BC = 2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD

∴∠BEO =∠OAB +∠DBA =∠DBC +∠DBA = 90°

即AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD。

（2）连结PE，由PO⊥平面ABCD，AO⊥BD

得PE⊥BD

∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角

设AB = BC = PB = PC = 2CD = 2a

则PO =a，OE =

在Rt△PEO中，tan∠PEO =

∴二面角P – BD– C的大小为arctan

（3）取PB的中点为N，连结CN，则CN⊥PB

又∵AB⊥BC，BC是PB在面ABCD内的射影

∴AB⊥PB，又PB∩BC = B

∴AB⊥面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC

∵CN⊥PB，面PAB∩面PBC = PB

∴CN⊥平面PAB

取PA的中点为M，连结DM、MN

则MN∥AB∥CD，∵MN =AB = CD

∴四边形MNCD为平行四边形

∴CN∥DM，∴DM⊥平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB。

解法二：

（1）取BC中点为O

∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形

∴PO⊥底面ABCD，以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，直线OP为z轴，如图乙所示，建立空间直角坐标系。

不妨设CD = 1

则AB = BC = PB = PC = 2，PO =

∴A(1，– 2，0)，B (1，0，0)，D (– 1，– 1，0)，P (0，0，)

∴= (– 2，– 1，0)，= (1，– 2，–)

∵·= (– 2) × 1 + (– 1) × (– 2) + 0 × (–) = 0

∴⊥，∴PA⊥BD

（2）连结AO，设AO与BD相交于点E，连结PE

由· = 1 × (– 2) + (– 2) × (– 1) + 0 × 0 = 0

∴⊥，∴OA⊥BD

又∵EO为PE在平面ABCD内的射影，∴PE⊥BD

∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角

在Rt△BEO中，OE = OB · sin∠OBE =

∴在Rt△PEO中，tan∠PEO =

∴二面角P – BD – C的大小为arctan

（3）取PA的中点M，连结DM

则M，又∵

∴·=× 1 + 0 × (– 2) +

∴⊥，即DM⊥PA

又∵= (1，0，)

∴·=× 1 + 0 × 0 +

∴⊥，即DM⊥PB，∴DM⊥平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB。

（1）证明：∵AD⊥平面ABC，AC面ABC，AB面ABC，

∴AD⊥AC，AD⊥AB，

∵AD∥CE，∴CE⊥AC

∴四边形ACED为直角梯形.……………（1分）

又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴AB⊥面ACED.

………………（2分）

∴凸多面体ABCED的体积

求得CE=2.……………………………………………………（3分）

取BE的中点G，连结GF，GD，

则GF∥EC，GFCE=1，

∴GF∥AD，GF=AD，四边形ADGF为平行四边形，

∴AF∥DG.………………………………………………………（5分）

又∵GD面BDE，AF面BDE，

∴AF∥平面BDE.………………………………………………（7分）

（2）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC.………………………………………………………（8分）

由（1）知AD⊥平面ABC，AD∥GF，∴GF⊥面ABC.

∵AF面ABC，∴AF⊥GF. ……………………………………（9分）

又BCGF=F，∴AF⊥面BCE.…………………………………（10分）

又∵DG∥AF，∴DG⊥面BCE.……………………………（11分）

∵DG面BDE，∴面BDE⊥面BCE.……………………（12分）

（1）底面是边长为正方形，

底面，平面————3分

              ，平面——5分

（2）连结，为的中点，为的中点

∥，————7分

又平面，平面

∥平面————10分

（3），，，

同样计算可得，为等腰三角形，————12分

，，等腰三角形的高为

 ————14分