- 函数解析式的求解及常用方法
- 共158题
武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数(如图所示,单位:摄氏温度,
)。
(1)写出这段曲线的函数解析式;
(2)求出一天(,单位小时)温度的变化在
时的时间。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)由条件可知
解得
因为,所以
. 所以
.
将点代入上式,得
.从而解析式是
.………………(6分)
(2)由(1),令,
得.
所以,………………………………①
或………………………………②
由①,得.取
,得
.
由②,得.取
,得
;取
,得
.
即一天温度的变化在时的时间是
,
,
三个时间段,共4小时………………………………………………(12分)
知识点
已知函数f(x)=,x∈
,则满足f(x0)>f(
)的x0的取值范围为 ▲ 。
正确答案
∪
解析
法1 注意到函数是偶函数故只需考虑
区间上的情形。
由知函数在
单调递增,
所以在
上的解集为
,
结合函数是偶函数得原问题中取值范围是
。
法2 ,
作出函数在
上的图象
并注意到两函数有交点可得
取值范围是
。
知识点
某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段,一共播放了y条广告,第1次播放了1条和余下的y-1条的,第2次播放了2条以及余下的,第3次播放了3条以及余下的,以后每次按此规律插播广告,在第x次播放了余下的x条(x>1)。
(1)设第k次播放后余下ak条,这里a0=y,ax=0,求ak与ak-1的递推关系式;
(2)求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y.
正确答案
见解析
解析
(1)依题意,第k次播放了k+(ak-1-k)=ak-1+k,∴ak=ak-1-(ak-1+k)。
∴ak-1=k+ak,即ak与ak-1的递推关系式为ak-1=k+ak.
(2)∵a0=1+a1=1+(2+a2)=1+2×+()2a2
=1+2×+3×()2+()3a3=…
=1+2×+3×()2+…+x×()x-1+()xax.
∵ax=0,∴y=1+2×+3×()2+…+x×()x-1.
用错位相减法求和,可得y=49+(x-7)×.
故这家电视台这一天播放广告的时段为7段,广告的条数为49.
知识点
函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是 ▲ 。
正确答案
π
解析
y=sin2x+cos2x=2 sin(2 x+60º) T=2π/2= π
知识点
函数y=lg的定义域是
正确答案
(lg2,+∞)
解析
解:由题设知10x﹣2>0,
解得x>lg2。
∴函数y=lg的定义域是(lg2,+∞)。
知识点
由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”,将构图边数增加到
可得到“
边形数列”,记它的第
项为
,
(1)求使得的最小
的取值;
(2)试推导关于
、
的解析式。
正确答案
见解析
解析
解析:(1), ………………2分
由题意得,
所以,最小的. ………………4分
(2)设边形数列所对应的图形中第
层的点数为
,则
从图中可以得出:后一层的点在条边上增加了一点,两条边上的点数不变,
所以,
………………10分
所以是首项为1公差为
的等差数列,
所以.(或
等) 13分
知识点
如图1,,
是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段
和曲线段
分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要,拟过栈桥
上某点
分别修建与
,
平行的栈桥
、
,且以
、
为边建一个跨越水面的三角形观光平台
。建立如图2所示的直角坐标系,测得线段
的方程是
,曲线段
的方程是
,设点
的坐标为
,记
。(题中所涉及的长度单位均为米,栈桥和防波堤都不计宽度)
(1)求的取值范围;
(2)试写出三角形观光平台面积
关于
的函数解析式,并求出该面积的最小值。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意,得在线段CD:
上,即
,
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK,
所以
所以的取值范围是
。
(2)由题意,得
所以
则,
因为函数在
单调递减
所以当时,三角形观光平台的面积取最小值为225平方米
知识点
函数的最小值为-1,其图象相邻两个对称中心之间的距离为
.
(1)求函数的解析式;
(2)设,则
,求
的值.
正确答案
见解析
解析
(1)∵函数最小值为-1
∴ 即
∵函数图象的相邻对称中心之间的距离为
∴ 即
故函数的解析式为
(2)∵
∴
则 ∴
即所求
知识点
已知函数,在点
处的切线方程为
。
(1)求函数的解析式;
(2)若对于区间上任意两个自变量的值
,都有
,求实数
的最小值;
(3)若过点,可作曲线
的三条切线,求实数
的取值范围。
正确答案
(1)(2)4(3)
解析
解析:(1) …………1分
根据题意,得 即
解得
…………3分
(2)令,解得
,
时,
…………5分
则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值,都有
所以所以
的最小值为4。 …………6分
(3)设切点为
,
切线的斜率为
则
即, …………8分
因为过点,可作曲线
的三条切线
所以方程有三个不同的实数解
即函数有三个不同的零点, …………9分
则
令
…………10分
即
,∴
…………12分
知识点
如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天
花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为2m,在圆
环上设置三个等分点A1,A2,A3。点C为上一点(不包含端点O、B),
同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1,CA2,CA3
的长度相等。设细绳的总长为
(1)设∠CA1O = (rad),将y表示成θ的函数关系式;
(2)请你设计,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y最小,并
指明此时 BC应为多长。
正确答案
见解析。
解析
(1)解:在△COA1中,
,
,
=
(
)
(2),
令,则
当时,
;
时,
,
∵在
上是增函数
∴当角满足
时,y最小,最小为
;此时BC
m
知识点
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