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题型:简答题
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简答题 · 12 分

武汉地区春天的温度的变化曲线近似地满足函数(如图所示,单位:摄氏温度,)。

(1)写出这段曲线的函数解析式;

(2)求出一天(,单位小时)温度的变化在时的时间。

正确答案

见解析

解析

解析:(1)由条件可知

    解得

因为,所以.     所以.

将点代入上式,得.从而解析式是.………………(6分)

(2)由(1),令

.

所以,………………………………①

………………………………②

由①,得.取,得.

由②,得.取,得;取,得.

即一天温度的变化在时的时间是三个时间段,共4小时………………………………………………(12分)

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知函数f(x)=,x∈,则满足f(x0)>f()的x0的取值范围为    ▲    。

正确答案

解析

法1  注意到函数是偶函数故只需考虑区间上的情形。

知函数在单调递增,

所以上的解集为

结合函数是偶函数得原问题中取值范围是

法2  

作出函数上的图象

并注意到两函数有交点可得取值范围是

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段,一共播放了y条广告,第1次播放了1条和余下的y-1条的,第2次播放了2条以及余下的,第3次播放了3条以及余下的,以后每次按此规律插播广告,在第x次播放了余下的x条(x>1)。

(1)设第k次播放后余下ak条,这里a0=y,ax=0,求ak与ak-1的递推关系式;

(2)求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y.

正确答案

见解析

解析

(1)依题意,第k次播放了k+(ak-1-k)=ak-1+k,∴ak=ak-1-(ak-1+k)。

∴ak-1=k+ak,即ak与ak-1的递推关系式为ak-1=k+ak.

(2)∵a0=1+a1=1+(2+a2)=1+2×+()2a2

=1+2×+3×()2+()3a3=…

=1+2×+3×()2+…+x×()x-1+()xax.

∵ax=0,∴y=1+2×+3×()2+…+x×()x-1.

用错位相减法求和,可得y=49+(x-7)×.

故这家电视台这一天播放广告的时段为7段,广告的条数为49.

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是    ▲    。

正确答案

π

解析

y=sin2x+cos2x=2 sin(2 x+60º) T=2π/2= π

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

函数y=lg的定义域是

正确答案

(lg2,+∞)

解析

解:由题设知10x﹣2>0,

解得x>lg2。

∴函数y=lg的定义域是(lg2,+∞)。

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”,将构图边数增加到可得到“边形数列”,记它的第项为

(1)求使得的最小的取值;

(2)试推导关于的解析式。

正确答案

见解析

解析

解析:(1),               ………………2分

由题意得,

所以,最小的.                    ………………4分

(2)设边形数列所对应的图形中第层的点数为,则

从图中可以得出:后一层的点在条边上增加了一点,两条边上的点数不变,

所以,                     ………………10分

所以是首项为1公差为的等差数列,

所以.(或等)         13分

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:简答题
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简答题 · 15 分

如图1,是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤,线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要,拟过栈桥上某点分别修建与平行的栈桥,且以为边建一个跨越水面的三角形观光平台。建立如图2所示的直角坐标系,测得线段的方程是,曲线段的方程是,设点的坐标为,记。(题中所涉及的长度单位均为米,栈桥和防波堤都不计宽度)

(1)求的取值范围;

(2)试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式,并求出该面积的最小值。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意,得在线段CD:上,即

又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK,

所以

所以的取值范围是

(2)由题意,得

所以

因为函数单调递减

所以当时,三角形观光平台的面积取最小值为225平方米

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

函数的最小值为-1,其图象相邻两个对称中心之间的距离为.

(1)求函数的解析式;

(2)设,则,求的值.

正确答案

见解析

解析

(1)∵函数最小值为-1

∴           即

∵函数图象的相邻对称中心之间的距离为

      即

故函数的解析式为

(2)∵

则         ∴

          

即所求

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数,在点处的切线方程为

(1)求函数的解析式;

(2)若对于区间上任意两个自变量的值,都有,求实数的最小值;

(3)若过点,可作曲线的三条切线,求实数的取值范围。

正确答案

(1)(2)4(3)

解析

解析:(1)   …………1分

根据题意,得    即

解得           …………3分

(2)令,解得

时,       …………5分

则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值,都有

所以所以的最小值为4。           …………6分

(3)设切点为

,   切线的斜率为

,     …………8分

因为过点,可作曲线的三条切线

所以方程有三个不同的实数解

即函数有三个不同的零点,    …………9分

…………10分

   即,∴       …………12分

知识点

函数解析式的求解及常用方法
1
题型:简答题
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简答题 · 15 分

如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,通过细绳悬挂在天

花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离为2m,在圆

环上设置三个等分点A1,A2,A3。点C为上一点(不包含端点O、B),

同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1,CA2,CA3

的长度相等。设细绳的总长为

(1)设∠CA1O =  (rad),将y表示成θ的函数关系式;

(2)请你设计,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y最小,并

指明此时 BC应为多长。

正确答案

见解析。

解析

(1)解:在△COA1中,

, 

=

(2)

,则           

时,时,

上是增函数

∴当角满足时,y最小,最小为;此时BCm

知识点

函数解析式的求解及常用方法
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