圆锥曲线的参数方程
共990题

圆锥曲线的参数方程
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题型：填空题

填空题

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ-sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为______．

正确答案

∵曲线C1的参数方程为（α为参数），sin2α+cos2α=1

∴曲线C1的直角坐标方程为x2+（y-1）2=1

∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，p（cosθ-sinθ）+1=0

∴曲线C2的方程为x-y+1=0

而圆心到直线的距离d=0＜r，故C1与C2的交点个数为2

故答案为：2

题型：简答题

简答题

过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线（t为参数）相交于A，B两点．求线段AB的长．

正确答案

直线的参数方程为（s 为参数），曲线可以化为 x2-y2=4．

将直线的参数方程代入上式，得 s2-6s+ 10 = 0．

设A、B对应的参数分别为 s1，s2，∴s1+ s2= 6 ，s1•s2=10．

∴AB=|s1-s2|==2．

题型：填空题

填空题

已知抛物线C的参数方程为（t为参数），设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=______．

正确答案

把抛物线C的参数方程（t为参数），消去参数化为普通方程为 y2=8x．

故焦点F（2，0），准线方程为 x=-2，再由直线FA的斜率是-，可得直线FA的倾斜角为120°，

设准线和x轴的交点为M，则∠AFM=60°，且MF=p=4，∴∠PAF=180°-120°=60°．

∴AM=MF•tan60°=4，故点A（0，4），把y=4代入抛物线求得x=6，

∴点P（6，4），

故|PF|==8，

故答案为 8．

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）点P（-3，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为______．

正确答案

设点Q（t2，2t）为曲线上的任意一点，

则|PQ|==≥=3，当且仅当t=0取等号，此时Q（0，0）．

故点P（-3，0）到曲线（其中参数t∈R）上的点的最短距离为3．

故答案为3．

题型：填空题

填空题

参数方程(θ为参数)的普通方程为______．

正确答案

把参数方程(θ为参数)利用同角三角函数的基本关系消去参数化为普通方程为y2=1+x，

故答案为 y2=1+x．

题型：填空题

填空题

曲线（θ为参数）与直线y=a有两个公共点，则实数a的取值范围是______．

正确答案

曲线（θ为参数），为抛物线段y=x2（-1≤x≤1），借助图形直观易得0＜a≤1．

题型：填空题

填空题

已知曲线C的参数方程为（t为参数），若点P（m，2）在曲线C上，则m=______．

正确答案

因为曲线C的参数方程为（t为参数），

消去参数t得：x=4y2；

∵点P（m，2）在曲线C上，

所以 m=4×4=16．

故答案为：16．

题型：填空题

填空题

曲线（t为参数）的直角坐标方程是______．

正确答案

∵曲线C的参数方程（t为参数）

x=+≥2，可得x的限制范围是x≥2，

再根据x2=t++2，∴t+=x2-2，可得直角坐标方程是：x2=2（y+1），（x≥2），

故答案为：x2=2（y+1），（x≥2）．

题型：简答题

简答题

已知C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=1，M，N分别为C1在直角坐标系中与x轴，y轴的交点．曲线C2的参数方程为（t为参数，且t＞0），P为M，N的中点，求过OP（O为坐标原点）的直线与曲线C2所围成的封闭图形的面积．

正确答案

曲线C1的直角坐标方程为x+y-=0，（2分）

与x轴的交点为M(，0)，N(0，)，（3分）

消去参数t得到曲线C2的普通方程为y=2-x2；

直线OP：y=x，（6分）

直线OP与曲线C2的交点横坐标为x1=-2，x2=1，（8分）

则直线OP与曲线C2所围成的封闭图形的

面积为S=(2-x2-x)dx=(2x--)=．（10分）

题型：填空题

填空题

已知抛物线C的参数方程为（t为参数），若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x-4)2+y2=r2(r＞0) 相切，则r=（）。

正确答案

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