双曲线及其性质
共445题

双曲线及其性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，其渐近线方程是，双曲线过点

（1）求双曲线方程

（2）动直线经过的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线,使G平分线段MN，证明你的结论

正确答案

见解析

解析

（1）如图，设双曲线方程为=1 …………1分

由已知得………………………3分

解得……………………5分

所以所求双曲线方程为=1 ……………………6分

（2）P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），

∴其重心G的坐标为(2，2）………………………8分

假设存在直线，使G(2，2)平分线段MN，

设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有

，∴kl=……………………10分

∴l的方程为y=(x－2)+2,12分

由,消去y,整理得x2－4x+28=0

∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线不存在……………………14分

知识点

双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数.

（1）求的最小正周期；www.zxxk.com

（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）………………………2分

=………………………………………………4分

所以的最小正周期为……………………………………………………………6分

（2）∵将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.

∴…………………8分

∵………………………………………………9分

∴当取得最大值2.……………10分

当取得最小值—1.………12分

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为

正确答案

解析

过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴。

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

双曲线的渐近线方程为。

正确答案

答案：

解析

略

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知双曲线C：的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线 C的离心率为，那么双曲线C的方程为____；渐近线方程是____.

正确答案

答案：,

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

双曲线2x2﹣y2=﹣1的离心率为（　　）

正确答案

解析

双曲线2x2﹣y2=﹣1化为标准形式为y2﹣=1，

∴a=1，b=，

∴c==，

∴e==，

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

甲.乙两位同学参加2014年的自主招生考试，下火车后两人共同提起一个行李包（如图所示）. 设他们所用的力分别为, 行李包所受重力为，若，则与的夹角的大小为____________.

正确答案

解析

由力的平衡可知，，两边平方，

可得，由条件得，故与的夹角的大小

为.（或利用向量加法的平行四边形法则来求）

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

A（1，3）

B（1，3]

C（3，+∞）

D[3，+∞）

正确答案

解析

设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），则左焦点F（﹣c，0），右顶点为A（a，0），

线段FA的中点坐标为M（，0）

∵线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，

∴≤﹣a，如图。

则a﹣c≤﹣2a，∴3a≤c，

∴e≥3。

故选D。

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线，过其左焦点作圆的两条切线，切点记作，,原点为,，其双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知圆锥曲线的两个焦点坐标是，且离心率为；

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于两点，求的取值范围；

（3）在条件（2）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值。

正确答案

（1）

（2）

（3）m=4

解析

（1）由知，曲线是以为焦点的双曲线，且，

故双曲线的方程是，

（2）设，联立方程组：，

从而有：为所求。

（3）因为，

整理得或，

注意到，所以，故直线的方程为。

设，由已知，

又，所以。

在曲线上，得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，

所以为所求。

知识点

向量在几何中的应用双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

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