由an与Sn的关系求通项an
共103题

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由an与Sn的关系求通项an
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题型：填空题

填空题 · 4 分

对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。

对于正整数，规定为的阶差分数列，其中，若数列的通项，则。

正确答案

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上.

（1）求，；

（2）求数列的通项公式；

（3）若，求证数列的前项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵点都在函数的图象上，

∴，

又，∴.

（2）由（1）知，，

当时，

由（1）知，满足上式，

所以数列的通项公式为.

（3）由（2）得

知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知数列的前项和为,且对任意,有，则（）；（）。

正确答案

2；

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an其它方法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

若数列的前项和，则数列的通项公式

正确答案

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知数列和满足：，其中为实数，为正整数。

（1）对任意实数，求证：不成等比数列；

（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（3）设为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,

即矛盾.

所以不成等比数列。

（2）因为

又,

所以当，，（为正整数），此时不是等比数列.……8分

当时，，由上式可知，∴（为正整数），

故当时，数列是以为首项，－为公比的等比数列。

（3）由（2）知，当时，, 则，所以恒成立。

当，得，于是

要使对任意正整数，都有成立，即

，令，

则当为正奇数时，当为正偶数时，

∴的最大值为, 于是可得

综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，则等于（　　）

正确答案

解析

相邻两项依次结合可得：

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：填空题

填空题 · 5 分

数列的前n项和为，则 .

正确答案

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：单选题

单选题 · 5 分

设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为( )

A-3

B-6

正确答案

解析

略

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知数列满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）（i）对任意，若将按从小到大的顺顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且记公差为.求的值以及数列的通项公式；

（ii）记数列的前项和为，问是否存在正整数，使得恒成立，若存在求出的最大值；若不存在说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）

当时，有，……………………2分

所以数列从第二项起是公比为的等比数列；

当时，，而，可得

所以……………………4分

（2）

（i）由（1）知

若为等差中项则，解得：

综上所述或者…………………6分

当时，，注意到与异号，

…………………7分

当时，注意到与同号，

…………………8分

综上所述：当时；当时…………………9分

（ii）当时,则由，得，当时，这时不存在符合题意的最大正整数；…………………10分

当时则由，得

，时，满足恒成立，当时，存在，使得即，所以当时不恒成立…………………12分

综上所述：当时存在满足题意的最大正整数………………13分

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、、…、恰为等比数列，且，，.

（1）求数列的通项公式（用表示）；

（2）若数列的前项和为，求.

正确答案

见解析。

解析

（1）为公差不为，由已知得，，成等比数列，

∴ ，

得或

若，则为，这与，，成等比数列矛盾，

所以，

所以.

（2）由（1）可知

∴

而等比数列的公比。

因此，

∴

知识点

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