- 由an与Sn的关系求通项an
- 共103题
已知,且
,则S2010= .
正确答案
4020
解析
对,令
,得
,即
,解得
,同理,令
,得
,得
,再令
,得
,再令n=4,得
,所以数列
是以3为周期的周期函数.所以
.
知识点
在等比数列中,
,则数列
的通项公式
_____________,设
,则数列
的前
项和
_____________,
正确答案
;
解析
略
知识点
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p – 1)Sn = p2 – an,n∈N*,p > 0且p≠1,数列{bn}满足bn = 2logpan。
(1)求an,bn;
(2)若p =,设数列
的前n项和为Tn,求证:0 < Tn≤4;
(3)是否存在自然数M,使得当n > M时,an > 1恒成立?若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*) ①
由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1 ②
① – ②得(n≥2)
∵an > 0 (n∈N*)
又(p – 1)S1 = p2 – a1,∴a1 = p
{an}是以p为首项,为公比的等比数列
an = p
bn = 2logpan = 2logpp2 – n
∴bn = 4 – 2n
(2)证明:由(1)知,bn = 4 – 2n,an = p2 – n
又由条件p =得an = 2n – 2
∴Tn = ①
②
① – ②得
= 4 – 2 ×
= 4 – 2 ×
∴Tn =
Tn – Tn – 1 =
当n > 2时,Tn – Tn – 1< 0
所以,当n > 2时,0 < Tn≤T3 = 3
又T1 = T2 = 4,∴0 < Tn≤4。
(3)解:若要使an > 1恒成立,则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论
当p > 1时,2 – n > 0,n < 2
当0 < p < 1时,2 – n < 0,n > 2
∴当0 < p < 1时,存在M = 2
当n > M时,an > 1恒成立。
知识点
已知等差数列的前
项和为
.
(1)请写出数列的前
项和
公式,并推导其公式;
(2)若,数列
的前
项和为
,求
的和。
正确答案
见解析。
解析
(1)
证明:设等差数列的公差为
,因为
所以①
②
由①+②得:
所以
(2) 因为,所以
,
所以
因此
知识点
给出下列等式:观察各式:a1+b1=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则依次类推可得a6+b6=________.
正确答案
18
解析
略
知识点
对于数列,把
作为新数列
的第一项,把
或
(
)作为新数列
的第
项,数列
称为数列
的一个生成数列,例如,数列
的一个生成数列是
。
已知数列为数列
的生成数列,
为数列
的前
项和。
(1)写出的所有可能值;
(2)若生成数列满足的通项公式为
,求
。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知,,
,
∴,
由于,
∴可能值为
, ………………………………5分
(2)∵。
∴时,
。
。
时,
;
时,
;
………………………………13分
知识点
2014年年初,某微小企业开发某项新产品,先期投入5万元启动资金,计划两年内逐月增加投入,已知2014年1月份投入资金0.1万元,以后每月均比上个月多投入资金0.1万元,若该产品每个月的利润组成数列{an},
(1)求前n个月的利润总和;
(2)记第n个月的利润率,求前12个月中哪一个月的利润率最大?并求出最大利润率。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知数列的前
项和为
,
,则
=
正确答案
解析
略
知识点
已知数列的前n项和为
,且
.
(1)求数列的通项公式
(2) 已知,求证:
.
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,
,
,可得:
,
,
(2)设
在
上单调递减,
∵当时,
,
知识点
已知点(1,2)是函数的图象上一点,数列
的前n项和
.
(1)求数列的通项公式;
(2)将数列前2013项中的第3项,第6项,…,第3k项删去,求数列
前2013项中剩余项的和.
正确答案
见解析。
解析
(1)把点(1,2)代入函数,得
.……………………(1分)
…………………………………………(2分)
当时,
…………………………………(3分)
当时,
……………………………………………(5分)
经验证可知时,也适合上式,
.…………………………………………………………(6分)
(2)由(1)知数列为等比数列,公比为2,故其第3项,第6项,…,第2013项也为等比数列,首项
公比
为其第671项………………………………………………………………(8分)
∴此数列的和为……………………(10分)
又数列的前2013项和为
…………………………………(11分)
∴所求剩余项的和为…(12分
知识点
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