- 由an与Sn的关系求通项an
- 共103题
已知,且
,则
。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数f(x)=,则f[f(2013)]=
正确答案
解析
略
知识点
已知数列的前
项和为
,
,满足下列条件
①;②点
在函数
的图象上;
(1)求数列的通项
及前
项和
;
(2)求证:。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意 ……2分
当时
整理,得 ……5分
又,所以
或
时,
,
,
得 ,
……7分
时,
,
,
得 ,
……9分
(2)证明:时,
,所以
……11分
时,
,
……13分
因为
所以
综上 ……14分
知识点
已知数列的前n项和
,则
=
正确答案
解析
略
知识点
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,且
,n∈N*。
(1)证明数列{an}是等比数列,并写出通项公式;
(2)若对n∈N*恒成立,求λ的最小值;
(3)若成等差数列,求正整数x,y的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为,
其中Sn是数列{an}的前n项和,Tn是数列的前n项和,且an>0,
当n=1时,由,
解得a1=1,
当n=2时,由,
解得;
由,
知,
两式相减得,
即,
亦即2Sn+1﹣Sn=2,从而2Sn﹣Sn﹣1=2,(n≥2),
再次相减得,又
,
所以所以数列{an}是首项为1,公比为
的等比数列,其通项公式为
,n∈N*,
(2)由(1)可得,
,
若对n∈N*恒成立,
只需=3×
=3﹣
对n∈N*恒成立,
∵3﹣<3对n∈N*恒成立,∴λ≥3。
(3)若成等差数列,其中x,y为正整数,
则成等差数列,
整理,得2x=1+2y﹣2,
当y>2时,等式右边为大于2的奇数,等式左边为偶数或1,
等式不能成立,
∴满足条件的正整数x,y的值为x=1,y=2。
知识点
已知为等差数列,
为其前
项和,且
.
(1)求;
(2)若成等比数列,求
的值及公比.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵为其等差数列,设公差为
,则有
,∴
----------------------1分
,有
,∴
,∴
-----------------3分
∴, ---------------------4分
------------------------6分
(2)若成等比数列,则有
--------------------7分
即,整理得
, --------------------8分
解得或
(舍). --------------------10分
∴成等比数列,
--------------------12分
知识点
已知等比数列{}的首项为l,公比q≠1,
为其前n项和,al,a2,a3分别为某等差数列的第一.第二.第四项。
(1)求和
;
(2)设,数列{
}的前n项和为Tn,求证:
.
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知函数f(x)=x2+
x,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上。
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)令cn=+
,证明:2n<c1+c2+…+cn<2n+
。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
∴,
∴当n=1时,;
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=。
当n=1时,也适合上式,
因此。
(2)由(1)可得:=
。
∴Tn=,
,
两式相减得=1+
=3
∴。
(3)证明:由cn==
+
>2
=2,
∴c1+c2+…+cn>2n。
又cn=+
=2+
﹣
,
∴c1+c2+…+cn=2n+[(﹣
)+(
﹣
)+…+(
﹣
)]=2n+
﹣
<2n+
。
∴2n<c1+c2+…+cn<2n+成立。
知识点
记数列的前
项和为
,已知向量
和
满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求;
(3)设,求数列
的前
项的和为
。
正确答案
见解析
解析
(1)∵
∴=
=
=
∴;
(2)数列为周期为3的周期数列且
故.
(3)。
当时,
∵ =
。
∴ ;
当时,
;
当时,
;
故
知识点
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,a5和a7的等差中项为13.
(1) 求an及Sn;
(2) 令(n∈N﹡),求数列{bn}的前n项和Tn.
正确答案
见解析。
解析
(1) 设等差数列{an}的公差为d,因为S5=5a3=35,a5+a7=26,高考资源网
所以有,…………………………………………………………………2分
解得a1=3,d=2,…………………………………………………………………4分
所以an=3+2(n-1)=2n+1;Sn=3n+ ×2=n2+2n.………………………6分
(2) 由(1)知an=2n+1,所以bn= =
…………………………8分
= ,……………………………………………………………… 10分
所以Tn= .……12分
知识点
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