由an与Sn的关系求通项an
共103题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

17．设数列的前n项和为，已知，

（1）设，证明数列是等比数列

（2）求数列的通项公式。

正确答案

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知正项数列前n项和为，首项为，且成等差数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前n项和，证明。

正确答案

（1）由题意知，且可得

当时，

当时，，两式相减得，

整理得

所以数列是首项2，公比为2的等比数列。

（2）

；

两式相减得

所以

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。

正确答案

（Ⅰ）由题意可得：

①

时, ②

①─②得，

是首项为，公比为的等比数列，

（Ⅱ）解法一:

若为等差数列，

则成等差数列，

得

又时，，显然成等差数列，

故存在实数，使得数列成等差数列.

解法二:

欲使成等差数列,只须即便可.

故存在实数，使得数列成等差数列.

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明数列与解析几何的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线2x-y-1=0上。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，设，求的前n项和。

正确答案

（1）由已知 ①

当时， ②

①-② 得

整理得

又n=1时，得

是首次，公比q=2的等比数列

故

（2）由

得

则

= ①

②

①-②，得

解得

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知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与解析几何的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知数列的前项和为，且，．

（1）能否唯一确定数列的通项公式？若能，请求出的表达式；若不能，说明理由；

（2）能否求得的最大可能值与最小可能值？若能，请求之；若不能，说明理由；

（3）若，，数列的前项和为，求。

正确答案

（1）时，

即，且

由于与的关系不确定，

因此不能唯一确定数列的通项公式

（2）为使最大，只要

为使最小，，只要，且

∴ 的最大可能值为，的最小可能值为

（3），∴ ，

∴

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由an与Sn的关系求通项an数列的极限数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.已知数列的前项和为,，则______.

正确答案

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由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知数列的前项和为，且，数列满足。

（1）求的通项公式；

（2）若数列是公比为的等比数列，求前项和的最小值；

正确答案

（1），

，

所以为等差数列

（2），

因为

，

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an =5Sn+1成立，记

（I）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{ bn }的前n项和为Rn，是否存存正整数k，使得Rn≥4k成立?若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

（III）记设数列{}的前n项和为，求证：对任意正整数n都有

正确答案

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知识点

由an与Sn的关系求通项an由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

19.已知数列的各项均为正数，它的前n项和Sn满足，并且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前n项和，求.

正确答案

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知识点

由an与Sn的关系求通项an分组转化法求和

题型：简答题

简答题 · 17 分

22．已知数列的前项和为，若，

（1）求数列的通项公式；

（2）令，①当为何正整数值时，；②若对一切正整数，总有，求的取值范围。

正确答案

（1）令，，

即，

由

，

∵，

∴，

即数列是以为首项、为公差的等差数列，

∴，

（2）①，

即，

②∵，

又∵时，，

∴各项中数值最大为，

∵对一切正整数，总有，

∴。

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