由an与Sn的关系求通项an
共103题

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由an与Sn的关系求通项an
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题型：简答题

简答题 · 14 分

24．已知数列，当时满足，

（1）求该数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

正确答案

解：（1）当时，，则，

作差得：，.

又，

知，，

是首项为，公比为的等比数列，

（2）由（1）得：，

，

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知数列的前n项和为．

（I）求数列的通项公式；

（II）设，求数列的前n项和。

正确答案

解析

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知识点

对数的运算性质由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.已知数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，对于任意n≥2，3Sn－4，an，总成等差数列．

（I）求数列通项公式an；

（II）若数列满足，求数列的前n项和．

正确答案

（I）∵n≥2时，3Sn－4，an，2－总成等差数列，

∴，

即　，

∴　．

两式相减，得，．

∴a2，a3，…an，…成等比数列．

∵a1=2 当n =2时，a2= ，

∴a1，a2，a3，…an，…成等比数列，

∴an=2．

（II）由（I）得，

∴　

．

∵ ，

∴ ．

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用等比数列的基本运算等比数列的性质及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.已知定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足,且 (其中为数列的前项和),则_________.

正确答案

解析

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知识点

函数奇偶性的性质函数的周期性由an与Sn的关系求通项an数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．设数列的前项和为

（I）求数列的通项公式

（II）是否存在正整数n使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由．

正确答案

解:（I）

时，

为，的等差数列

（II）

存在

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明等差数列的前n项和及其最值

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．数列的前n项和为Sn，且

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）等差数列的各项为正数，其前n项和为成等比数列，求等差数列的公差。

正确答案

（1）

又

所以

数列，3为公比的等比数列

（2）

（3）

等差数列的各项为正数，

设公差为

则

又成等比数列，

（舍去）

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明等差数列与等比数列的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=Sn·Sn－1 (n≥2)，a1=- ，则a12=（）

A-

B-

正确答案

解析

由an=Sn·Sn-1 (n≥2)，得- =-1

又= =2

∴=-2+(n-1)×(-1)∴Sn=-

∴a12=S12-S11=- += .

知识点

由an与Sn的关系求通项an

题型：简答题

简答题 · 12 分

19.已知数列的前n项之和为 ,满足.

（1）证明：数列为等比数列，并求通项；

（2）设，求数列中的最大项的值。

正确答案

解：（1）

（2）

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.Sn为等比数列{an}的前n项和，满足Sn=2an-1，则{an}的公比q= 。

正确答案

解析

当时，，解得；当时，，解得，所以{an}的公比q=。

考查方向

本题考查等比数列的基本性质，意在考查考生运算求解的能力。

解题思路

1.先令求出；

2. 令求出；

3.求出的值即为公比q.

易错点

不清楚前n项和与的关系；

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的基本运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．已知数列的前项和为,且，则=_____________.

正确答案

解析

，所以得到，

，两边化简，然后同除以得到

，，所以得到数列是一个首项为1，公差为2的等差数列，所以，

考查方向

本题主要考查数列的基本性质，对数列进行变形构造新的数列求数列的通项公式。难度中档，是高考热点之一。数列在高考中常常会涉及运用递推式求通项公式、周期数列以及数列与不等式的问题。

解题思路

详见解析

易错点

不能够想到，化简后不能想到两边同除以而构造新的数列。

知识点

由an与Sn的关系求通项an裂项相消法求和

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