热门试卷

（1）解：a=-1时，

令bn=an-1，则

∵b1=-5为奇数，bn也是奇数且只能为-1

∴，即；

（2）证明：a=3时，

①n=1时，a1=-4，命题成立；

②设n=k时，命题成立，则存在t∈N*，使得ak=4t

∴=34t-1+1=27•（4-1）4（t-1）+1

∵（4-1）4（t-1）=+…+4+1=4m+1，m∈Z

∴=27•（4m+1）+1=4（27m+7）

∴n=k+1时，命题成立

由①②可知，对∀n∈N*，an是4的倍数．

解：（1）计算得；；；．

（2）猜测：．下面用数学归纳法证明

①当n=1时，猜想显然成立．

②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，

即．

那么，当n=k+1时，Sk+1=1-（k+1）ak+1，

即Sk+ak+1=1-（k+1）ak+1．

又，

所以，

从而．

即n=k+1时，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

解：利用数学归纳法证明．

①当n=1时，a1=＜1；

②假设n=k时，不等式成立，即．

那么n=k+1时，=＜1．

这就是说，n=k+1时，不等式也成立．

所以，对于n∈N*时，an＜1成立．

解：（1）对于①式，原式=cos213°+cos273°-cos13°cos（60°+13°）

=cos213°+cos273°-cos13°（）

=+cos273°

=

=+

=-

=

=．

（2）根据式子特点猜想：cos2α+cos2（α+60°）-cosαcos（α+60°）=

证明：原式左边=cos2α+（cosαcos60°-sinαsin60°）2-cosα（cosαcos60°-sinαsin60°）

=cos2α+-2×+-

=+-

=

=．

证明：因为Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明

12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）

（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立

（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即

12+22+32+…+k2+…+32+22+12=

现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得

12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，

=

=

=

=．

即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），

（A）式对所有的正整数n都成立，即证得

解：（1）依题意作图如下：

∵图中x轴下方的等腰直角三角形与x轴上方、直线x=4及直线y=x-2组成的等腰直角三角形全等，

∴a1=dx=×|=，

∵Sn+1=an（1-an+1）+Sn，

∴an+1=an-an•an+1，

∴-=1，又a1=，故=2，

，∴{}是首项为2，公差为1的等差数列，

∴=2+（n-1）×1=n+1，

．∴．

（2）当n=1时，++＞，即＞，

所以a＜26，而a是正整数，

所以取a=25，下面用数学归纳法证明：++…+＞．

（1）当n=1时，已证；

（2）假设当n=k时，不等式成立，即++…+＞．

则当n=k+1时，

有++…+

=++…++++-

＞+[+-]．

因为+=＞，

所以+-＞0．

所以当n=k+1时不等式也成立．

由（1）（2）知，对一切正整数n，都有：++…+＞．

所以a的最大值等于25．

解：假设存在一次函数g（x）=kx+b（k≠0），使得a1+a2+a3+…+an-1=g（n）（an-1）对n≥2的一切自然数都成立，

则当n=2时有，a1=g（2）（a2-1），又∵，∴g（2）=2即2k+b=2…①．

当n=3时有，a1+a2=g（3）（a3-1），又∵，∴g（3）=3，即3k+b=3…②，

由①②可得k=1，b=0，

所以猜想：g（x）=x，…（5分）

下面用数学归纳法加以证明：

（1）当n=2时，已经得到证明；…（6分）

（2）假设当n=k（k≥2，k∈N）时，结论成立，即存在g（k）=k，使得a1+a2+a3+…+ak-1=g（k）（ak-1）对k≥2的一切自然数都成立，则

当n=k+1时，a1+a2+a3+…+ak=（a1+a2+a3+…+ak-1）+ak=k（ak-1）+ak=（k+1）ak-k，…（8分）

又∵，

∴ak=ak+1-，

∴，

∴当n=k+1时，命题成立．…（11分）

由（1）（2）知，对一切n，（n≥2，n∈N*）有g（n）=n，使得a1+a2+a3+…+an-1=g（n）（an-1）都成立．…（12分）

（1）解：令a=2，b=2n-1（n∈N*），

当n=1时，，

当n=2时，，

当n=3时，，

∴U1=2，U2=8，U3=24；

（2）由（1）猜测f（2n）=n×2n（n∈N*）．

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，f（2）=1×2，结论成立；

②假设n=k时结论成立，即f（2k）=k×2k，

当n=k+1时，f（2k+1）=f（2×2k）=2f（2k）+2kf（2）=2×k×2k+2k×2=k×2k+1+2k+1=（k+1）×2k+1．

∴n=k+1时，结论成立．

由①②可知，对n∈N*，

f（2n）=n×2n．

∴．

要证明Un+1＞Un，只需证明，

∵，

∴Un+1＞Un．

解：（1）分类讨论，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…9个10，共9种

∴相应的选法种数为3+9=12种；

（2）当数字和为200时，只取数字1或10或100时，共3种；取1和10，可分为1个10，2个10，…19个10，共19种；取1和100，即100个1和1个100，共1种；取10和100，即10个10和1个100，共1种；取数字1、10、100，相当于取1和10，数字和为100的情形，共9种，故33种

故可得数字总和为100n对应的选法种数为an，数字总和为100（n+1）对应的选法种数为an+1，其中增加的种数为取1和10；取1和100；取10和100，共10n+11种，即an+1=an+10n+11

∴an+1-an=10n+11

∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=5n2+6n+1

下面用数学归纳法进行证明：

①n=1时，由（1）知，结论成立

②假设n=k时成立，即ak=5k2+6k+1，则ak+1=ak+10k+11=5k2+16k+11+1=5（k+1）2+6（k+1）+1

即n=k+1时，结论成立

由①②可得an=5n2+6n+1成立．

证明：（1）当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；

（2）假设n=k时，ak=2k，

则当n=k+1时，ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2k+2=2（k+1），

即n=k+1时结论也成立，

综上所述，对一切n∈N*，an=2n．

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，

∴左边=右边

（2）假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2

当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．

综上（1）（2）可知1+3+5+…+（2n-1）=n2对于任意的正整数成立．