热门试卷

解：（1）将n=1，n=2代入等式得：解得：…（6分）

（2）由（1）得，

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，左边=，右边=，等式成立；…（8分）

②假设n=k时等式成立，即

则n=k+1时，

左边=×+×+…++

=1-+

=1-=右边

即n=k+1时等式成立．…（12分）

由①②知，等式成立．…（14分）

解：（Ⅰ）第6个等式6+7+8+…+16=112…（2分）

（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）2…（4分）

证明：（1）当n=1时显然成立；

（2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立，

即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）=（2k-1）2…（6分）

那么当n=k+1时，左边=（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）

=k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k

=（2k-1）2+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k

=[2（k+1）-1]2，

而右边=[2（k+1）-1]2，

这就是说n=k+1时等式也成立．…（10分）

根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．…（12分）

（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2-sin2∈（0，2），所以sina2＞0，

所以a3-a2=-sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）

（2）证明：①n=1时，结论成立；

②设n=k时，0＜ak＜1，则当n=k+1时，ak+1-ak=-sinak＜0，即ak+1＜ak＜1，（6分）

当x∈（0，1）时，f‘（x）=1-cosx＞0，

即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以ak+1=f（ak）＞f（0）=0，即0＜ak+1＜1

即n=k+1时，结论成立，

综上可得，当0＜a1＜1时，0＜an＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）

解：（1）

又，则，类似地求得

（2）由，，…

猜得：

以数学归纳法证明如下：

①当n=1时，由（1）可知等式成立；

②假设当n=k时猜想成立，即

那么，当n=k+1时，由题设得，

所以Sk=k（2k-1）ak=k（2k-1）=

Sk+1=（k+1）（2k+1）ak+1ak+1=SK+1-SK=（k+1）（2k+1）ak+1-

因此，

所以=

这就证明了当n=k+1时命题成立．

由①、②可知命题对任何n∈N*都成立．

解：（I）∵，，，，…4 分

猜想：（n∈N*）．…（6分）

（II）证明：（1）当n=1时，，猜想成立．…（7分）

（2）假设n=k（k∈N*）时猜想成立，即．

那么n=k+1时，，

∴当n=k+1时猜想仍成立．…（11分）

根据（1）（2），可以断定猜想对任意的n∈N*都成立．…（12分）

解：∵Sn=（an+），

∴当n=1，2，3时，可得a1=1，a2=-1，a3=，…，猜想an=．

下面利用数学归纳法证明．

（1）当n=1时，a1=1=成立；

（2）假设当n=k（k∈N*）时，成立．

∵Sn=（an+），，

∴an+1=-（an+），

化为=0．

则当n=k+1时，++=0，解得ak+1=．

∴当n=k+1时，ak+1=成立．

综上（1）（2）可得：∀n∈N*，an=成立．

解：（1）∵Sn=n（2n-1）an，且a1=

∴当n=2时，S2=a1+a2=2（4-1）a2，解得：a2=；

当n=3时，S3=a1+a2+a3=3（6-1）a3，解得：a3=

（2）由 （1）可以猜想{an}的通项为an=

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，由条件知等式成立；

②假设当n=k（k≥1且k∈N*）等式成立，

即：ak=

那么当n=k+1时，由条件Sn=n（2n-1）an 有：

Sk=k（2k-1）ak=k（2k-1）； 

=，

∴Sk+1-Sk=ak+1=（k+1）（2k+1）-，即

k（2k+3）ak+1=，∴ak+1=，

即：当n=k+1时等式也成立．

由①②可知，命题对一切n∈N*都成立．

解：（1）f（0）+f（1）=+==，

f（-1）+f（2）=+==.2分

（2）由（1）归纳得到对一切实数x，有f（x）+f（1-x）=.4分

证明：f（x）+f（1-x）=+=+===.7分

（3）设S=f（-99）+f（-98）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（100），

又S=f（100）+f（99）+…+f（1）+f（0）+f（-1）+…+f（-99），

两式相加，得（由（2）的结论）2S=200×，

∴S=.12分．

解：由题意，f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，f（4）=11，f（5）=16----4分

猜想f（n）=-----8分

证明：①当n=1时 上式显然成立

②假设当n=k（k≥）时成立，即成立

则当n=k+1时，第k+1条直线与前k条直线相交有k个交点，

所以k个交点将第k+1条直线分成k+1份，每一份将原来的区间分成2份，

所以在原来的基础上增加了k+1个区间．--------12分

所以f（k+1）=f（k）+k+1=+k+1=

所以当n=k+1时成立----------13分

综合①②，所以猜想成立-------14分．

解：（1）∵an-an-1=2n-1，且a1=1，

∴a2=a1+2×2-1=1+2×2-1=4；

a3=a2+2×3-1=4+2×3-1=9，

同理可得：a4=16；

（2）由（1）可猜想：an=n2；

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，由已知a1=1=12，成立；

②假设n=k时，命题成立，即ak=k2；

则当n=k+1时，ak+1=ak+2（k+1）-1=k2+2k+1=（k+1）2，

即n=k+1时，等式也成立，

综合①②知，对∀n∈N*，an=n2．