热门试卷

证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，

∴左边=右边

（2）假设n=k时等式成立，即++…+=1-；

当n=k+1时，等式左边=++…++=1-+=1-

这就是说，n=k+1时，等式成立．

综上（1）（2）可知（n是正整数）．．

解：（1）当n=1时，a1=51+2×30+1=8，当n=2时，a2=52+2×31+1=32，当n=3时，a3=53+2×32+1=144，当n=4时，a4=54+2×33+1=680，

∴n∈N*，an=5n+2×3n-1+1能被8整除；

（2）1°当n=1时已证；

2°假设当n=k（k∈N*）时命题成立，即5k+2×3k-1+1能被8整除．

则当n=k+1时，5k+1+2×3k+1=5•5k+6•3k-1+1=（5k+2•3k-1+1）+4（5k+3k-1），

∵5k+2×3k-1+1能被8整除，而5k+3k-1为偶数，

∴4（5k+3k-1）也能被8整除．即当n=k+1时命题也成立．

∴n∈N*，an=5n+2×3n-1+1能被8整除．

解：假设存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N+总成立，

令n=1与n=2得：

解得：，

即1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=n（n+1）（n+2）．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=1×1=1，右边=×1×1×（1+1）×（1+2）=1，因此左边=右边，

∴当n=1时等式成立，

（2）假设当n=k时成立，

即1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1=k（k+1）（k+2），

那么当 n=k+1时，

1×（k+1）+2×[（k+1）-1]+3×[（k+1）-2）]+…+（k+1）×1

=[1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1]+[1+2+3+…+（k+1）]

=k（k+1）（k+2）+

=（k+1）（k+2）（k+3）

=（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]

所以，当 n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N+都成立．

证明：（1）当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=（a3+a2）+（a2+a1）=（a2+a1）+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3，

即当m=1时，第4m+1项能被3整除，命题成立；

（2）假设当m=k时，a4k+1能被3整除，

则当m=k+1时，

a4（k+1）+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2（a4k+2+a4k+1）+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1．

显然，3a4k+2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除，

∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

即当m=k+1时，a4（k+1）+1也能被3整除．命题也成立．

由（1）和（2）知，对于任意n∈N*，数列{an}中的第4m+1（m∈N*）项能被3整除．

解：（1）∵．

∴…．（1分）

…（2分）

…（3分）

由此猜想数列{an}的通项公式…..（5分）

（2）下面用数学归纳法证明

①当n=1时，，猜想成立…..（6分）

②假设当n=k（k∈N+，k≥1）猜想成立，即…．（7分）

∵．…（8分）

∴…（12分）

即当n=k+1时猜想也成立…..（13分）

根据①和②，可知猜想对任何n∈N+都成立…..（14分）

（用其他方法正确证明也给分）

解：（1），得，由an＞0，∴a1=1．（1分）

，得，∴，（3分）

同理，求得．（5分）

（2）猜想．（6分）

①n=1时，命题成立．（7分）

②假设n=k时，（*）成立，

则n=k+1时，

把 （*）代入上式，化简得，，

∴（负舍），即n=k+1时，命题成立．

由①②得，．（14分）

（1）证明：设，

所以．…（1分）

当x＜0时，，当x=0时，，当x＞0时，．

即函数φ1（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，在x=0处取得唯一极小值，…（2分）

因为φ1（0）=0，所以对任意实数x均有 φ1（x）≥φ1（0）=0．

即f（x）-g1（x）≥0，

所以f（x）≥g1（x）．…（3分）

（2）解：当x＞0时，f（x）＞gn（x）．…（4分）

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，由（1）知f（x）＞g1（x）．

②假设当n=k（k∈N*）时，对任意x＞0均有f（x）＞gk（x），…（5分）

令φk（x）=f（x）-gk（x），φk+1（x）=f（x）-gk+1（x），

因为对任意的正实数x，，

由归纳假设知，．…（6分）

即φk+1（x）=f（x）-gk+1（x）在（0，+∞）上为增函数，亦即φk+1（x）＞φk+1（0），

因为φk+1（0）=0，所以φk+1（x）＞0．

从而对任意x＞0，有f（x）-gk+1（x）＞0．

即对任意x＞0，有f（x）＞gk+1（x）．

这就是说，当n=k+1时，对任意x＞0，也有f（x）＞gk+1（x）．

由①、②知，当x＞0时，都有f（x）＞gn（x）．…（8分）

（3）证明：先证对任意正整数n，gn（1）＜e．

由（2）知，当x＞0时，对任意正整数n，都有f（x）＞gn（x）．

令x=1，得gn（1）＜f（1）=e．

所以gn（1）＜e．…（9分）

再证对任意正整数n，=．

要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式成立．

即要证明对任意正整数n，不等式（*）成立．…（10分）

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

方法1（数学归纳法）：

①当n=1时，成立，所以不等式（*）成立．

②假设当n=k（k∈N*）时，不等式（*）成立，

即．…（11分）

则．

因为，…（12分）

所以．…（13分）

这说明当n=k+1时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n，不等式成立．

…（14分）

方法2（基本不等式法）：

因为，…（11分），

…，，

将以上n个不等式相乘，得．…（13分）

所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n，不等式成立．

…（14分）

解：（Ⅰ）求导函数，

∵an+1=f‘（an+1），∴．

（Ⅱ），，

令a4＜a2，得，∴（2a2+1）（a2-2）＞0，

∵a2＞0，∴a2＞2，则，得0＜a1＜2．

以下证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2．

①当n=1时，0＜a1＜2，则，

=，∴a4＜a2．

②假设n=k（k∈N*）时命题成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，

当n=k+1时，，

∴a2k+4＜a2k+2，即n=k+1时命题成立，

综合①②，对于任意n∈N*，a2n+2＜a2n，且a2n＞2，从而数列{bn}是递减数列．

∴a1的取值范围为（0，2）．

说明：数学归纳法第②步也可用下面方法证明：

解：（1）∵3a2、2a3、a4成等差数列，

∴4a3=3a2+a4，∴

∵q≠0，a1=3，

∴q2-4q+3=0

∵q≠1，∴q=3

∵a1=3，∴=3n；

（2）①∵b1=q，∴b2=3a1+rb1=3（3+r）；b3=3a2+rb2=3（32+3r+r2）；

b4=3a3+rb3=3（33+32r+3r2+r3）；

②bn=3（3n-1+3n-2r+…+3rn-2+rn-1），

∵r≠3，∴bn=

用数学归纳法证明如下．

①n=2时，=3（3+r），结论成立；

②假设n=k时，结论成立，即bk=

∴n=k+1时，bk+1=3ak+rbk==

即n=k+1时，结论成立

由①②可知结论成立．

（1）解：，

由，令，则y=4t2+2t-4．

对称轴，∴y=4t2+2t-4在上单调递增，∴f2（x）在上的值域为．…（4分）

（2）证明：∵对于1≤x1＜x2≤2，m∈N*有，，从而，∴，m∈N*，在上单调递减，

∴，在上单调递减．

又，．…（7分）

当n≥2时，，

又f1（2）=-2+1=-1＜0，即对于任意自然数n有，

∴对于每一个n∈N*，存在唯一的，使得fn（xn）=0…（11分）

（3）解：．

当a=2时，，∴．…（14分）

当a≠2且a≠0时，．

∴…（18分）

解：（1）---------------------1

---------------------1

猜想：，（n∈N*）---------------------2

（2）下面用数学归纳法证明，（n∈N*）

①当n=1时，，显然成立；--------------------1

②假设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即，--------------------1

则当n=k+1时，

即对n=k+1时，猜想也成立；

结合①②可知，猜想对一切n∈N*都成立．--------------------2

（1）证明：①当n=1时，x1=∈（0，1），

②假设当n=k时，结论成立，即xk∈（0，1），

则当n=k+1时，xk+1=f（xk）=

∵xk∈（0，1），

∴∈（0，1），

即n=k+1时结论成立

综上①②可知0＜xn＜1；…（6分）

（2）解：由xn+1=可得：=-1

∵an=，

∴an+1=2an-1，

∴an+1-1=2（an-1）…（8分）

又a1-1=1

∴{an-1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，

∴an-1=2n-1，

即an=2n-1+1…（12分）

解：取n=，取

…由此推测．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=2，右边=2＞∴不等式成立．

（2）假设n=k时，不等式成立，有，

那么，n=k+1时，=，

因而，

即 当n=k+1时，不等式也成立．

由上可知，对于任意n∈N*，．