- 推理与证明
- 共1204题
已知数列{an}中，a1=2，an=2-
（1）求a2，a3，a4；
（2）试猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）a1=2，an=2-
（2）猜想an=
证明：①当n=1时，结论显然成立…（8分）
②假设n=k时，结论成立，即ak=
那么当n=k+1时，ak+1=2-
即当n=k+1时，等式成立．
由①②知，an=
解析
解：（1）a1=2，an=2-
（2）猜想an=
证明：①当n=1时，结论显然成立…（8分）
②假设n=k时，结论成立，即ak=
那么当n=k+1时，ak+1=2-
即当n=k+1时，等式成立．
由①②知，an=
已知数列{an}满足：a1=
（1）求a2、a3；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
（3）求证：a1+a2+…+an＞n-
正确答案
（1）解：∵a1=
∴a2=
（2）解：猜想an=
证明如下：①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即ak=1-
则n=k+1时，ak+1=ak+
即n=k+1时，结论成立．
综上，an=
（3）证明：∵an=
∴a1+a2+…+an＞n-
即a1+a2+…+an＞n-
解析
（1）解：∵a1=
∴a2=
（2）解：猜想an=
证明如下：①n=1时，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即ak=1-
则n=k+1时，ak+1=ak+
即n=k+1时，结论成立．
综上，an=
（3）证明：∵an=
∴a1+a2+…+an＞n-
即a1+a2+…+an＞n-
利用数学归纳法证明“
正确答案
2k
解析
解：由题意，n=k时，最后一项为
∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了
故答案为：2k．
要证明1，
正确答案
1，
解析
解：应假设：1，
故答案为：1，
用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，从k→k+1需增添的项的是______．
正确答案
（2k+2）+（2k+3）
解析
解：用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，
假设n=k时成立，即1+2+3+…+（2k+1）=（k+1）（2k+1），
那么，当n-k+1时，左边=1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+[2（k+1）+1]
=1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+（2k+3）．
∴从k→k+1需增添的项的是（2k+2）+（2k+3）．
故答案为：（2k+2）+（2k+3）．
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n
（1）求a1，a2，a3，a4
（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）因为Sn=2an-n，
所以a1=1，a2=3，a3=7，a4=15；
（2）猜想 an=2n-1
证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即ak=2k-1
则n=k+1时，Sk+1=2ak+1-（k+1），又Sk=2ak-k
两式相减得：ak+1=2ak+1
由假设及上式得：
即：
所以n=k+1时也成立
由①②知an=2n-1，n∈N+时成立
解析
解：（1）因为Sn=2an-n，
所以a1=1，a2=3，a3=7，a4=15；
（2）猜想 an=2n-1
证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即ak=2k-1
则n=k+1时，Sk+1=2ak+1-（k+1），又Sk=2ak-k
两式相减得：ak+1=2ak+1
由假设及上式得：
即：
所以n=k+1时也成立
由①②知an=2n-1，n∈N+时成立
在数列{an}中，a1=4，an+1=4an-9n，n=1，2，3，…．计算a2，a3，a4的值，根据计算结果，猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
正确答案
解：根据已知，a2=7，a3=10，a4=13．…（3分）
猜想an=3n+1．…（5分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=4，右边=3×1+1=4，猜想成立．…（6分）
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=3k+1，…（7分）
则n=k+1时，ak+1=4ak-9k=4（3k+1）-9k=3k+4=3（k+1）+1，
所以 当n=k+1时，猜想也成立．…（12分）
根据 ①和 ②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（13分）
解析
解：根据已知，a2=7，a3=10，a4=13．…（3分）
猜想an=3n+1．…（5分）
证明：①当n=1时，由已知，左边=4，右边=3×1+1=4，猜想成立．…（6分）
②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=3k+1，…（7分）
则n=k+1时，ak+1=4ak-9k=4（3k+1）-9k=3k+4=3（k+1）+1，
所以 当n=k+1时，猜想也成立．…（12分）
根据 ①和 ②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（13分）
已知数列{an}满足：a1=3，an=
（1）用数学归纳法证明：∀n∈N*，∃mn∈N，使an=4mn+3；
（2）求a2013的末位数字．
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=3，
假设当n=k，ak=4mk+3，mk∈N．
则当n=k+1时，
=
=
=
=4T-1=4（T-1）+3．其中T=
∴∃mk+1=∈N使ak+1=4mk+1+3，
∴当n=k+1时，结论也成立．
∴∀n∈N*，∃mn∈N，使an=4mn+3．
（2）
故a2013的末位数字是7．
解析
解：（1）当n=1时，a1=3，
假设当n=k，ak=4mk+3，mk∈N．
则当n=k+1时，
=
=
=
=4T-1=4（T-1）+3．其中T=
∴∃mk+1=∈N使ak+1=4mk+1+3，
∴当n=k+1时，结论也成立．
∴∀n∈N*，∃mn∈N，使an=4mn+3．
（2）
故a2013的末位数字是7．
用数学归纳法证明1+
正确答案
解析
解：用数学归纳法证明 
第一步应验证不等式为：
故答案为：
假设n=k时成立，当n=k+1时，证明
正确答案
解析
解：n=k时，不等式的左边等于 
当n=k+1时，不等式的左边等于 
当n=k+1时，不等式的左边比n=k时增加的向为 
故选D．
已知数列{an}满足a1=a，an+1=
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）由an+1=
a4=
（2）猜测an=
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边=
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即ak=
则当n=k+1时，ak+1=
=
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有an=
解析
解：（1）由an+1=
a4=
（2）猜测an=
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a1=a，
右边=
②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，
即ak=
则当n=k+1时，ak+1=
=
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N*都有an=
已知数列{an}，an＞0，前n项和
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）猜想出通项an，并证明．
正确答案
解：（1）由已知得n=1时，a1=1，n=2时
（2）猜想
证明：①当n=1时，由上可知命题成立；
②假设n=k时命题成立，即
由
代入假设，得
∴
∵ak+1＞0，
∴
∴n=k+1时也成立．
综合①②知
解析
解：（1）由已知得n=1时，a1=1，n=2时
（2）猜想
证明：①当n=1时，由上可知命题成立；
②假设n=k时命题成立，即
由
代入假设，得
∴
∵ak+1＞0，
∴
∴n=k+1时也成立．
综合①②知
已知f（x）=
（1）若g（n）=
（2）若a1=
（3）若a1=
正确答案
解：（1）a=4，f（x）=
g（n）=
此函数是关于n的减函数，
当n=1时取得最大值，
故g（n）的最大值为g（1）=
（2）由（1）知
an=4n-
令an=bm，4n-
所以在数列{an} 与{bn}中不存在相等的项．
（3）证明：∵h（dn）=
∴要证h（d1）•h（d2）…h（dn）＜
即要证
只要证明
①当n=1时，
②假设当n=k（k≥2）时
当n=k+1时，为了要证明：
只要证：
⇔3（2k+1）2≤（3k+1）[（2k+2）2-（2k+1）2]=（3k+1）（4k+3）
⇔12k2+12k+3≤12k2+13k+3⇔k≥0．
最后一个式子显然成立，从而得出n=k+1时也成立．
由①②可得n∈N+时，h（d1）•h（d2）…h（dn）＜
解析
解：（1）a=4，f（x）=
g（n）=
此函数是关于n的减函数，
当n=1时取得最大值，
故g（n）的最大值为g（1）=
（2）由（1）知
an=4n-
令an=bm，4n-
所以在数列{an} 与{bn}中不存在相等的项．
（3）证明：∵h（dn）=
∴要证h（d1）•h（d2）…h（dn）＜
即要证
只要证明
①当n=1时，
②假设当n=k（k≥2）时
当n=k+1时，为了要证明：
只要证：
⇔3（2k+1）2≤（3k+1）[（2k+2）2-（2k+1）2]=（3k+1）（4k+3）
⇔12k2+12k+3≤12k2+13k+3⇔k≥0．
最后一个式子显然成立，从而得出n=k+1时也成立．
由①②可得n∈N+时，h（d1）•h（d2）…h（dn）＜
设数列
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）当n=1时，S1=a1=
当n=2时，S1S2-2S2+1=0，即a1（a1+a2）-（a1+a2）+1=0，解得a2=
当n=3时，S3S2-2S3+1=0，即（a1+a2+a3）（a1+a2）-（a1+a2+a1）+1=0，解得a3=
同理a4=
（2）由（1）可得
猜想
下面用数学归纳法证明
①n=1时，已经成立；
②假设n=k时结论成立即
当n=k+1时，SkSk+1-2Sk+1+1=0，得
综上由①②可知，猜想
解析
解：（1）当n=1时，S1=a1=
当n=2时，S1S2-2S2+1=0，即a1（a1+a2）-（a1+a2）+1=0，解得a2=
当n=3时，S3S2-2S3+1=0，即（a1+a2+a3）（a1+a2）-（a1+a2+a1）+1=0，解得a3=
同理a4=
（2）由（1）可得
猜想
下面用数学归纳法证明
①n=1时，已经成立；
②假设n=k时结论成立即
当n=k+1时，SkSk+1-2Sk+1+1=0，得
综上由①②可知，猜想
（2015春•山西校级月考）用数学归纳法证明
A
B
C
D
正确答案
解析
解：n=k到n=k+1左边需添加的项为
故选：B．
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