推理与证明_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1且n∈N）时，在证明n=k+1这一步时，需要证明的不等式是（　　）

A++…+＞

B++…++＞

C++…++＞

D++…+++＞

正确答案

D

解析

解：当n=k+1时，不等式++…+＞，

即 +＞．

故选 D．

1

题型：简答题

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简答题

对于n∈N*，求证：1+≥eln（n+1）-n．

正确答案

证明：（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；

（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即1++…+≥eln（k+1）-k，

则当n=k+1时，1++…++≥eln（k+1）-k+，

证明eln（k+1）-k+≥eln（k+2）-k-1，

即证明eln≥-成立，

即证明eln≤成立，

令x=，即证≤（x＞1），

可构造函数f（x）=（x＞1），则f′（x）=，

∴（1，e）上f′（x）＞0，（e，+∞）上f′（x）＜0

∴≤，即当n=k+1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

解析

证明：（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；

（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即1++…+≥eln（k+1）-k，

则当n=k+1时，1++…++≥eln（k+1）-k+，

证明eln（k+1）-k+≥eln（k+2）-k-1，

即证明eln≥-成立，

即证明eln≤成立，

令x=，即证≤（x＞1），

可构造函数f（x）=（x＞1），则f′（x）=，

∴（1，e）上f′（x）＞0，（e，+∞）上f′（x）＜0

∴≤，即当n=k+1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

1

题型：单选题

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单选题

用数学归纳法证明2n＞n2（n∈N+）第一步应验证（　　）

An=4

Bn=5

Cn=6

Dn=7

正确答案

B

解析

解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；

结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12=1，2n＞n2不成立，

n=2时，左=22=4，右=22=4，2n＞n2不成立，

n=3时，左=23=8，右=32=9，2n＞n2不成立，

n=4时，左=24=16，右=42=16，2n＞n2不成立，

n=5时，左=25=32，右=52=25，2n＞n2成立，

因为n＞5成立，所以2n＞n2恒成立．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

给出下列命题：

（1）函数的单调减区间为（-∞，1）；

（2）已知，则p是q的必要不充分条件；

（3）命题“∃x∈R，sinx≤”的否定是：“∀x∈R，sinx＞”；

（4）已知函数，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则y=f（x）的单调递增区间是；

（5）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；

其中所有正确的个数是（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

D

解析

解：（1）由x2-2＞0得x＞或x＜-，

由复合函数的单调性知，f（x）=在（-∞，-）上单调递减，故（1）错误；

（2）由＞0得x＞2或x＜-3，即条件q为：x＞2或x＜-3，即Q={x|x＞2或x＜-3}；

由|2x-3|＞1得x＞2或x＜-1，即条件p为：x＞2或x＜-1，即P={x|x＞2或x＜-1}；

显然，Q⊂P，

∴q⇒p，反之不行，

∴p是q的必要不充分条件，故（2）正确；

（3）命题“∃x∈R，sinx≤”的否定是：“∀x∈R，sinx＞”正确；

（4）∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），且其图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π可求得ω，

∴T=π，ω=2，

∴f（x）=2sin（2x+），

由2kπ-≤2x+≤2kπ+得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∴y=f（x）的单调递增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z），故（4）正确；

（5）由数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是

=2（2k+1），故（5）正确．

综上所述，所有正确的个数是4个．

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

用数学归纳法证明1+r+r2+…+rn=（n∈N，r≠1），在验证n=0时，左端计算所得项为（　　）

A1

Br

C1+r

D1+r+r2

正确答案

A

解析

解：用数学归纳法证明：“1+r+r2+…+rn=”

在验证n=0时，把当n=0代入，左端=1．

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

已知f（n）=（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（　　）

A30

B26

C36

D6

正确答案

C

解析

解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，显然成立．

（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；

当n=k+1时，

[2（k+1）+7]•3k+1+9

=3[（2k+7）•3k+9]-18+2×3k+1

=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），

∵3k-1-1是2的倍数，

∴18（3k-1-1）能被36整除，

∴当n=k+1时，f（n）也能被36整除．

由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36．

1

题型：简答题

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简答题

用数学归纳法证明：（n∈N*）．

正确答案

证明：（1）当n=1时，左边=＜1=右边；

（2）假设当n=k（k∈N*）时，++…+成立．

则当n=k+1时，左边=++…+++＜+=+==右边．

∴当n=k+1时，不等式成立．

综上可得：∀n∈N*，成立．

解析

证明：（1）当n=1时，左边=＜1=右边；

（2）假设当n=k（k∈N*）时，++…+成立．

则当n=k+1时，左边=++…+++＜+=+==右边．

∴当n=k+1时，不等式成立．

综上可得：∀n∈N*，成立．

1

题型：单选题

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单选题

用数学归纳法证明++…+＞f（n）（n＞1，n∈N+）的过程中，n=k+1时的左边比n=k的左边增加了的项为（　　）

A

B-

C+

D-

正确答案

D

解析

解：用数学归纳法证明++…+＞f（n）（n＞1，n∈N+）的过程中，

当n=k+1时的左边比n=k的左边增加了的项为：++-=-

=．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

用数学归纳法证明：4n≥n4（n≥4，n∈N），第一步验证n=______．

正确答案

4

解析

解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；

结合本题n≥4，n∈N，故要验证n=4时，4n≥n4的成立即44≥44成立；

故答案为：4．

1

题型：简答题

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简答题

在数列{an}中，，且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（n∈N*）．

（1）写出此数列的前5项；

（2）归纳猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

正确答案

解：（1）由已知，=（2n-1）an，分别取n=2，3，4，5，

得，，，；

所以数列的前5项是：，，，，； …（5分）

（2）由（1）中的分析可以猜想（n∈N*）． …（7分）

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，猜想显然成立． …（8分）

②假设当n=k（k≥1且k∈N*）时猜想成立，即． …（9分）

那么由已知，得，

即a1+a2+a3+…+ak=（2k2+3k）ak+1．所以（2k2-k）ak=（2k2+3k）ak+1，

即（2k-1）ak=（2k+3）ak+1，又由归纳假设，得，

所以，即当n=k+1时，猜想也成立． …（11分）

综上①和②知，对一切n∈N*，都有成立． …（12分）

解析

解：（1）由已知，=（2n-1）an，分别取n=2，3，4，5，

得，，，；

所以数列的前5项是：，，，，； …（5分）

（2）由（1）中的分析可以猜想（n∈N*）． …（7分）

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，猜想显然成立． …（8分）

②假设当n=k（k≥1且k∈N*）时猜想成立，即． …（9分）

那么由已知，得，

即a1+a2+a3+…+ak=（2k2+3k）ak+1．所以（2k2-k）ak=（2k2+3k）ak+1，

即（2k-1）ak=（2k+3）ak+1，又由归纳假设，得，

所以，即当n=k+1时，猜想也成立． …（11分）

综上①和②知，对一切n∈N*，都有成立． …（12分）

1

题型：简答题

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简答题

（1）用数学归纳法证明

（2）用数学归纳法证明：．

正确答案

证明：（1）①当n=1时，左边=3×1-2=1，右边×1（3×1-1）=1，左边=右边，等式成立；

②假设当n=k时等式成立，即1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1），

则当n=k+1时，

1+4+7+…+（3k-2）+[3（k+1）-2]

=k（3k-1）+[3（k+1）-2]

=（3k2+5k+2）

=（k+1）（3k+2）

=（k+1）[3（k+1）-1]，

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，对任意n∈N*，等式成立．

（2）证明：①当n=1时，证明左边=，右边=，左边=右边，等式成立；

②假设当n=k时等式成立，即++…+=，

则当n=k+1时，

++…++

=+

=

=，

即当n=k+1时，等式也成立；

综上知，对任意n∈N*，等式++…+=恒成立．

解析

证明：（1）①当n=1时，左边=3×1-2=1，右边×1（3×1-1）=1，左边=右边，等式成立；

②假设当n=k时等式成立，即1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1），

则当n=k+1时，

1+4+7+…+（3k-2）+[3（k+1）-2]

=k（3k-1）+[3（k+1）-2]

=（3k2+5k+2）

=（k+1）（3k+2）

=（k+1）[3（k+1）-1]，

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，对任意n∈N*，等式成立．

（2）证明：①当n=1时，证明左边=，右边=，左边=右边，等式成立；

②假设当n=k时等式成立，即++…+=，

则当n=k+1时，

++…++

=+

=

=，

即当n=k+1时，等式也成立；

综上知，对任意n∈N*，等式++…+=恒成立．

1

题型：单选题

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单选题

已知f（n）=++…+（n∈N*），则下列结论正确的是（　　）

Af（1）=

Bf（k+1）-f（k）=++

Cf（2）=+

Df（k+1）-f（k）=+-

正确答案

D

解析

解：∵，

∴，f（2）=，f（k+1）-f（k）=+…+-（++…+）=．

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

（理）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，f（-2）=0，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤成立．

（1）求f（x）的表达式．

（2）g（x）=4f′（x）-sinx-2数列{an}满足：an+1=g（an），0＜a1＜1，n=1，2，3，证明：（Ⅰ）0＜an+1＜an＜1；（Ⅱ）an+1＜3．

正确答案

解：（1）由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立

∵当x∈（1，3）时，有f（x）≤（x+2）2成立，

∴取x=2时，f（2）≤（2+2）2=2成立，

∴f（2）=2．

∴4a+2b+c=2①

∵f（-2）=0

∴4a-2b+c=0②

由①②可得，∴4a+c=2b=1，

∴b=，c=1-4a，又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，

∴a＞0，

可得a=，∵c=1-4a，

∴c=，

∴a=，b=，c=，

∴f（x）=．

（2）：（Ⅰ）证明：0＜an＜1，

①当n=1时，0＜a1＜1，成立；

②假设n=k时，0＜ak＜1，

那么，ak+1=ak-sinak

∵0＜ak＜1，∴ak-sinak∈（0，1）．即ak+1∈（0，1）；

由①②可知，0＜an＜1，n=1，2，3，…成立．

下面证明an＞an+1

g（x）=4f′（x）-sinx-2=x-sinx，

g′（x）=1-cosx＞0，∴g（x）是增函数，

g（x）≥g（0）=0．

当x∈[0，1）时，sinan＞0，an+1=an-sinan，

∴an＞an+1

∴0＜an+1＜an＜1；

（Ⅱ）设h（x）=x-sinx-，易证h（x）=x-sinx-

在x∈[0，1）时单调递减，

所以，h（x）＜h（0）=0，

∴x-sinx，an∈（0，1），

∴an+1＜3．

解析

解：（1）由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立

∵当x∈（1，3）时，有f（x）≤（x+2）2成立，

∴取x=2时，f（2）≤（2+2）2=2成立，

∴f（2）=2．

∴4a+2b+c=2①

∵f（-2）=0

∴4a-2b+c=0②

由①②可得，∴4a+c=2b=1，

∴b=，c=1-4a，又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，

∴a＞0，

可得a=，∵c=1-4a，

∴c=，

∴a=，b=，c=，

∴f（x）=．

（2）：（Ⅰ）证明：0＜an＜1，

①当n=1时，0＜a1＜1，成立；

②假设n=k时，0＜ak＜1，

那么，ak+1=ak-sinak

∵0＜ak＜1，∴ak-sinak∈（0，1）．即ak+1∈（0，1）；

由①②可知，0＜an＜1，n=1，2，3，…成立．

下面证明an＞an+1

g（x）=4f′（x）-sinx-2=x-sinx，

g′（x）=1-cosx＞0，∴g（x）是增函数，

g（x）≥g（0）=0．

当x∈[0，1）时，sinan＞0，an+1=an-sinan，

∴an＞an+1

∴0＜an+1＜an＜1；

（Ⅱ）设h（x）=x-sinx-，易证h（x）=x-sinx-

在x∈[0，1）时单调递减，

所以，h（x）＜h（0）=0，

∴x-sinx，an∈（0，1），

∴an+1＜3．

1

题型：单选题

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单选题

用数学归纳法证明某命题时，左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（　　）

A

B+cosα

C+cosα+cos3α

D+cosα+cos3α+cos5α

正确答案

B

解析

解：由于左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*），

因此在验证n=1时，左边所得的代数式为：．

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

观察下面等式，归纳出一般结论，并用数学归纳法证明你的结论．

结论：12+22+32+…+n2=______．

正确答案

解：由于所给的等式的左边，是非0自然数的平方和，右边是倍的连续的两个自然数n，（n+1）与一个2n+1的积，

所以，猜想：12+22+32+…+n2=------------------（4分）

证明：（1）当n=1时，左边=12=1，右边=，等式成立．

（2）假设当n=k时，等式成立，即：12+22+32+…+k2=-----------（6分）

那么，当 n=k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2=

=

=，

就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）

综上所述，对任何n∈N+都成立．----------------------（14分）

故答案为：．

解析

解：由于所给的等式的左边，是非0自然数的平方和，右边是倍的连续的两个自然数n，（n+1）与一个2n+1的积，

所以，猜想：12+22+32+…+n2=------------------（4分）

证明：（1）当n=1时，左边=12=1，右边=，等式成立．

（2）假设当n=k时，等式成立，即：12+22+32+…+k2=-----------（6分）

那么，当 n=k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2=

=

=，

就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）

综上所述，对任何n∈N+都成立．----------------------（14分）

故答案为：．

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