热门试卷

解：①∵g′（x）=-1=-，

∵当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，

∴g（x）在（-1，0）上单调递增；

当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；

∴当x=0时，g（x）=ln（1+x）-x取得极大值，由极值的唯一性知，也是最大值，无最小值．

∴g（x）max=g（0）=0．

②∵函数f（x）是（0，+∞）上可导函数，且xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立，

令h（x）=，则h′（x）=＞0在x＞0时恒成立，

∴函数h（x）=在（0，+∞）上是增函数．

∴当x1＞0，x2＞0时，有x1+x2＞0，

∴h（x1+x2）＞h（x1），即＞，

∴x1f（x1+x2）＞（x1+x2）f（x1），

同理可得x2f（x1+x2）＞（x1+x2）f（x2），

∴（x1+x2）f（x1+x2）＞（x1+x2）（f（x1）+f（x2）），

∴f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）（x1＞0，x2＞0）．

于是可猜想：xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立．

下面证明：则当n=2时，由f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）（x1＞0，x2＞0）知结论成立；

假设n=k时，结论成立，即f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xk）＜f（x1+x2+x3+…xk），

则n=k+1时，f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xk）+f（xk+1）＜f（x1+x2+x3+…xk）+f（xk+1）＜f（x1+x2+x3+…xk+1），

即n=k+1时，结论也成立，

综上所述，xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立．

③用数学归纳法证明：

（ⅰ）当n=1时，左=ln22=ln4，

右==•，由于ln4＞1＞，

∴ln4＞•，即原不等式成立．

（ⅱ）假设n=k时，命题成立．即：

ln22+ln32+…+ln（k+1）2＞，

那么：ln22+ln32+…+ln（k+1）2+ln[（k+1）+1]2＞+ln[（k+1）+1]2

=-++ln[（k+1）+1]2

=+•（-）+ln（k+2）2

=+•+ln（k+2）2≥，

这就是说，当n=k+1时，命题也成立．

由（ⅰ）（ⅱ）可知，对一切n∈*，都有ln22+ln32+…+ln（n+1）2＞成立．

解：取n=1和2，得解得，…（4分）

即2+4+6+…+（2n）=n2+n．

以下用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证．…（6分）

（2）假设当n=k，k∈N*时等式成立即2+4+6+…+（2k）=k2+k …（8分）

那么，当n=k+1 时有2+4+6+…+（2k）+（2k+2）=k2+k+（2k+2）…（10分）

=（k2+2k+1）+（k+1）=（k+1）2+（k+1）…（12分）

就是说，当n=k+1 时等式成立…（13分）

根据（1）（2）知，存在，使得任意n∈N*等式都成立…（15分）

解：（1）∵an+Sn=n，∴n=1时，

n=2时，a2+S2=2，∴

n=3时，a3+S3=3，∴

n=4时，a4+S4=4，∴；…（2分）

（2）猜想：，下面用数学归纳法证明：…（3分）

①当n=1时，，猜想成立；

②假设当n=k时猜想成立，即，

则当n=k+1时，，

即，∴，即当n=k+1时猜想也成立，

∴由①②知：n∈N*时都成立．…（8分）

（3）∵bn+1=an+1-an，∴（n≥2），

∵，∴（n∈N*）．…（10分）

解：设D，E，F是正三角形ABC的边BC，CA，AB上的中点，O为中心．

1．连AO，BO，CO，则将正三角形ABC分为三个相等的顶角为120°的等腰三角形；

2．连AD，DE，DF．则△ADE，△ADF是相等的顶角为120°的等腰三角形△BDF，△CDE是相等的正三角形；

这样将正三角形ABC分为四个等腰三角形；

3．在AD上取一点H，使DH=，则△BHC是等腰直角三角形，分别在CA，AB上取一点

P与Q，使∠APH=∠AQH=30°．则

△APH，△AQH是相等的顶角为120°的等腰三角形，

△PCH，△QBH是相等的顶角为150°的等腰三角形，

这样将正三角形ABC分为五个等腰三角形；

4．在第三种情况下，我们只需分割等腰直角三角形BHC，那可得出所有分割．下面利用数学归纳法证明：只需分割等腰直角三角形BDH，那可得出所有分割．

（1）当n=1时，△BDH是等腰直角三角形，取BH的中点M1，连接DM1，则Rt△BDM1，Rt△DHM1都是等腰直角三角形．即由一个等腰直角三角形可以分割成两个等腰直角三角形．

（2）假设由n个等腰直角三角形可以分割成n+1个等腰直角三角形．

下面证明：由n+1个等腰直角三角形可以分割成n+2个等腰直角三角形，只需将其中的一个等腰直角三角形分割成两个等腰直角三角形即可，这个由（1）成立．

综上可知：上述结论成立．

因此可将一个正三角形分成n个等腰三角形．

解：（1）因为 ；；；．

可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1．于是猜想．…（6分）

下面用数学归纳法证明这个猜想．

ⅰ当n=1时，左边=，右边=，猜想成立．

ⅱ假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即，

那么===．

所以当n=k+1时，猜想也成立．

根据ⅰ和ⅱ，可知猜想对任何n∈N*时都成立．…（12分）

（2）=

=…（16分）

解：（1）n=2时，a2-a1=+2+1，∴a2=12．

同理可得a3=20，a4=30．

（2）猜测an=（n+1）（n+2）．下用数学归纳法证明：

①当n=1，2，3，4时，显然成立；

②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时成立，即有ak=（k+1）（k+2），则当n=k+1时，

由且an-an-1=+n+1，得+n+1，

故==（k+2）（k+3），

故n=k+1时等式成立；

由①②可知：an=（n+1）（n+2）对一切n∈N*均成立．

证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，

在等式中，

令n=1，得1=a+b+c     ①

令n=2，得=2a+b+   ②

令n=3，得   ③

由①②③解得a=，b=，c=，

于是，对于n=1，2，3都有

=（*）成立．

下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．

（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．

（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，

即=

那么当n=k+1时，

=

=

==

由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．

综上所述，当a=，b=，c=时题设的等式对于一切正整数n都成立．

解：（ I）∵a1=3，且，

∴，，； 

（ II）由（1）猜想，下面用数学归纳法进行证明．

①当n=1时，，满足要求，猜想成立；

②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，猜想成立，即，

那么当n=k+1时，，

这就表明当n=k+1时，猜想成立．

根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即．

解：当n=1时2n-1＞（n-1）2 当n=2时，2n-1＞（n-1）2 当n=3时，2n-1=（n-1）2 当n=4时2n-1＜（n-1）2 当n=5时2n-1=（n-1）2 当n=6时  2n-1＞（n-1）2

当n=7，8时  2n-1＞（n-1）2

…

猜想当n≥6，2n-1＞（n-1）2 恒成立．m的最小值为6．

 或令n-1=t，在同一平面直角坐标系内函数y=2t与y=t2的图象

交于两点（2，4），（4，16），当t≥5时2t＞t2，所以当n≥6时，2n-1＞（n-1）2 恒成立，得m的最小值为6．

数学归纳法证明：

（1）当n=6时，26-1=25=32，（6-1）2=25，32＞25，2n-1＞（n-1）2 成立

（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即有2k-1＞（k-1）2

则当n=k+1时，2（k+1）-1=2k=2•2k-1＞2•（k-1）2=k2+[（k-2）2-2]＞k2  （∵（k-2）2-2＞0）

=[（k+1）-1]2，即是说 当n=k+1时不等式也成立．

由（1）（2）可知当n≥6，时2n-1＞（n-1）2 恒成立．

解：（1）令n=1，S1=2a1-1．∴a1=1

又Sn+1=2an+1-（n+1），Sn=2an-n，

两式相减得，an+1=2an+1-2an-1，∴an+1=2an+1

∴a2=3，a3=7

（2）猜想an=2n-1

证明如下：①由（1）知，n=1时，结论成立；

②设n=k时，结论成立，即

则n=k+1时，=2k+1-1

即n=k+1时，结论成立

由①②可知，猜想成立．