- 推理与证明
- 共1204题
设数列{an}的前n项和是Sn，Sn+an=
（1）求a1的值，并用n和an表示an+1；
（2）猜想数列{an}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
正确答案
解：（1）由Sn+an=
当n≥2时，Sn+1+an+1=
∴2an+1-an=n+3，
∴
（2）由a1=2，a2=3，a3=4，…，
猜想an=n+1．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时成立；
②假设当n=k（k∈N*）时，ak=k+1．
则当n=k+1时，ak+1=
∴当n=k+1时，假设成立．
综上可得：∀n∈N*，an=n+1成立．
解析
解：（1）由Sn+an=
当n≥2时，Sn+1+an+1=
∴2an+1-an=n+3，
∴
（2）由a1=2，a2=3，a3=4，…，
猜想an=n+1．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时成立；
②假设当n=k（k∈N*）时，ak=k+1．
则当n=k+1时，ak+1=
∴当n=k+1时，假设成立．
综上可得：∀n∈N*，an=n+1成立．
某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．那么当n=______ 时，该命题不成立，可推n=5时该命题也不成立．
正确答案
6
解析
解：如果当n=k（k∈N）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，
其逆否命题为：当n=k+1时该命题不成立，则当n=k（k∈N）时该命题也不成立．
所以，当n=6时该命题不成立，可推n=5时该命题也不成立，
故答案为：6．
用数学归纳法证明
正确答案
解析
证明：∵
∴当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，
故答案为：1+a+a2+a3．
用数学归纳法证明：
正确答案
解析
解：根据等式的特点，可知n=1时，左边=
故答案为：
观察下列算式：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
你能得出怎样的结论？
正确答案
解：1+3+5+…+（2n-1）=n2
数学归纳法：
（1）当n=1时，左=1=右，结论成立；
（2）假设n=k（k∈N*）时结论成立，即1+3+…+（2k-1）=k2成立．
则n=k+1时，
左边=1+3+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=k2+2k+1=（k+1）2=右边
则n=k+1时结论也成立；
综上所述，结论对于所有的自然数都成立．
解析
解：1+3+5+…+（2n-1）=n2
数学归纳法：
（1）当n=1时，左=1=右，结论成立；
（2）假设n=k（k∈N*）时结论成立，即1+3+…+（2k-1）=k2成立．
则n=k+1时，
左边=1+3+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=k2+2k+1=（k+1）2=右边
则n=k+1时结论也成立；
综上所述，结论对于所有的自然数都成立．
设f（x）=
（1）求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3）；
（2）由（1）归纳出一般结论，并给出证明．
正确答案
解：（1）f（0）+f（1）=
同理可得：f（-1）+f（2）=f（-2）+f（3）=
（2）x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
证明：设x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
解析
解：（1）f（0）+f（1）=
同理可得：f（-1）+f（2）=f（-2）+f（3）=
（2）x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
证明：设x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=
记
正确答案
证明：欲证不等式为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1
（1）当n=1时，不等式左边=0，右边=0，不等式成立；
（2）假设n=k时，不等式成立，即（a+b）k-ak-bk≥22k-2k+1
由正实数a，b满足
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2
则n=k+1时，不等式左边=（a+b）k+1-ak+1-bk+1=（a+b）[（a+b）k-ak-bk]+akb+abk
≥4（22k-2k+1）+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1时成立
由（1）（2）可知，正实数a，b满足
解析
证明：欲证不等式为（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1
（1）当n=1时，不等式左边=0，右边=0，不等式成立；
（2）假设n=k时，不等式成立，即（a+b）k-ak-bk≥22k-2k+1
由正实数a，b满足
∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2
则n=k+1时，不等式左边=（a+b）k+1-ak+1-bk+1=（a+b）[（a+b）k-ak-bk]+akb+abk
≥4（22k-2k+1）+2k+2=22k+2-2k+2
即n=k+1时成立
由（1）（2）可知，正实数a，b满足
用数学归纳法证明：1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+n•1=
正确答案
证明：设f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1．
（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）设当n=k时等式成立，即1•k+2•（k-1）+3•（k-2）+…+（k-1）•2+k•1=
则当n=k+1时，
f（k+1）=1•（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]•3+[（k+1）-1]•2+（k+1）•1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=
=
∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立．
解析
证明：设f（n）=1•n+2•（n-1）+3•（n-2）+…+（n-1）•2+n•1．
（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）设当n=k时等式成立，即1•k+2•（k-1）+3•（k-2）+…+（k-1）•2+k•1=
则当n=k+1时，
f（k+1）=1•（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]•3+[（k+1）-1]•2+（k+1）•1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=
=
∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立．
若a＞0，a≠1，求证：
正确答案
证明：（1）当n=1时，
（2）假设n=k时不等式成立，即
则当n=k+1时，
故n=k+1时，不等式成立
（3）由（1）（2）可知命题对n∈N*时恒成立．
解析
证明：（1）当n=1时，
（2）假设n=k时不等式成立，即
则当n=k+1时，
故n=k+1时，不等式成立
（3）由（1）（2）可知命题对n∈N*时恒成立．
已知数列{an}满足an+1=a
（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）求证：2nn≤a
正确答案
解：（1）由已知an+1=a
由此猜测数列{an}的通项公式为an=n+1；
证明：①n=1，2，3，4显然成立；
②假设n=k时成立，即ak=k+1，则n=k+1时，ak+1=
所以n=k+1时，数列an=n+1也成立；
所以数列{an}的通项公式an=n+1对任意n∈N+都成立；
（2）因为an=n+1，所以
构造函数f（x）=（1+
即（n+1）n＜3nn；
所以2nn≤a
解析
解：（1）由已知an+1=a
由此猜测数列{an}的通项公式为an=n+1；
证明：①n=1，2，3，4显然成立；
②假设n=k时成立，即ak=k+1，则n=k+1时，ak+1=
所以n=k+1时，数列an=n+1也成立；
所以数列{an}的通项公式an=n+1对任意n∈N+都成立；
（2）因为an=n+1，所以
构造函数f（x）=（1+
即（n+1）n＜3nn；
所以2nn≤a
已知数列{an}的首项a1=5且Sn-1=an（n≥2，n∈N*）
（1）求a1，a3，a4的值，并猜想an（n≥2，n∈N*）的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）由题意：Sn-1=an（n≥2，n∈N*），
得a2=S1=a1=5；a3=S2=a1+a2=10；a4=S3=a1+a2+a3=20；
猜想：an=5×2n-2（n≥2，n∈N）；
证明：（2）①当n=2时，由（1）知，命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即 ak=5×2k-2，
则当n=k+1时，a k+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+
故命题也成立．
综上，对一切n≥2，n∈N都有an=5×2n-2成立．
解析
解：（1）由题意：Sn-1=an（n≥2，n∈N*），
得a2=S1=a1=5；a3=S2=a1+a2=10；a4=S3=a1+a2+a3=20；
猜想：an=5×2n-2（n≥2，n∈N）；
证明：（2）①当n=2时，由（1）知，命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即 ak=5×2k-2，
则当n=k+1时，a k+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+
故命题也成立．
综上，对一切n≥2，n∈N都有an=5×2n-2成立．
用数学归纳法证明：1+
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．
（2）假设当n=k时，1+
当n=k+1时，左边=1+
≤k+
当n=k+1时命题成立．
由（1）（2）可得，对于任意n≥1，n∈N*都成立．
解析
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，命题成立．
（2）假设当n=k时，1+
当n=k+1时，左边=1+
≤k+
当n=k+1时命题成立．
由（1）（2）可得，对于任意n≥1，n∈N*都成立．
用数学归纳法证明：
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=12=1，右边=
（2）假设当n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立．（10分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．（12分）
解析
证明：（1）当n=1时，左边=12=1，右边=
（2）假设当n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式也成立．（10分）
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．（12分）
用数学归纳法证明等式：1+2+3…+3n=
正确答案
解析
解：n=k，左边=1+2+3…+3n，
n=k+1时，左边=1+2+3…+3n+（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）．
故选：D．
已知两个数列{Sn}、{Tn}分别：
当n∈N*，Sn=1-
（1）求S1，S2，T1，T2；
（2）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）S1=1-
T1=
（2）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：
则：Sk+1=Sk
=
=
=
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）
解析
解：（1）S1=1-
T1=
（2）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：
则：Sk+1=Sk
=
=
=
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）
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