- 推理与证明
- 共1204题
令f（n）=12+22+…+（n-1）2+n2+（n-1）2+…+22+12，则f（n+1）=f（n）+______．
正确答案
（n+1）2+n2
解析
解：∵f（n）=12+22+…+（n-1）2+n2+（n-1）2+…+22+12，
∴f（n+1）=12+22+…+（n-1）2+n2+（n+1）2+n2+（n-1）2+…+22+12，
∴f（n+1）-f（n）=（n+1）2+n2，
即f（n+1）=f（n）=（n+1）2+n2，
故答案为：（n+1）2+n2
某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=
（1）若n=1，2 时猜想成立，求实数a，b的值．
（2）若该同学的猜想成立，请你用数学归纳法证明．若不成立，说明理由．
正确答案
证明：（1）若n=1，2 时猜想成立，
假设存在符合题意的常数a，b，
在等式1•22+2•32++n（n+1）2
=
令n=1，得4=
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，对于对于一切正整数n猜想都有
1•22+2•32++n（n+1）2=
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•22+2•32++k（k+1）2
=
那么当n=k+1时，
1•22+2•32++k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
=
=
=
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立．
解析
证明：（1）若n=1，2 时猜想成立，
假设存在符合题意的常数a，b，
在等式1•22+2•32++n（n+1）2
=
令n=1，得4=
令n=2，得22=2（2a+b）②
由①②解得a=3，b=5，
（2）于是，对于对于一切正整数n猜想都有
1•22+2•32++n（n+1）2=
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•22+2•32++k（k+1）2
=
那么当n=k+1时，
1•22+2•32++k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
=
=
=
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=5时题设的等式对于一切正整数n都成立．
用数学归纳法证明等式（n+1）（n+2）×…×（n+n）=2n×1×3×…×（2n-1）的过程中，由n=k（k∈N*）推出n=k+1（k∈N*）成立时，左边应增加的因式是（ ）
A2k+1
B2（2k+1）
C
D
正确答案
解析
解：n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k），n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k-1）（k+1+k）（k+1+k+1），
∴由n=k到n=k+1时，等式左边应增加的项是2（2k+1）．
故选：B．
已知数列{an}、{bn}满足：
（1）求b1，b2，b3，b4；
（2）猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
正确答案
解：（1）bn+1=
∵a1=
∴b2=
（2）猜想bn=
①当n=1时，b1=
②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即bk=
那么当n=k+1时，bk+1=
∴当n=k+1时命题也成立；
由①②知，对任意正整数命题都成立…8分
解析
解：（1）bn+1=
∵a1=
∴b2=
（2）猜想bn=
①当n=1时，b1=
②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即bk=
那么当n=k+1时，bk+1=
∴当n=k+1时命题也成立；
由①②知，对任意正整数命题都成立…8分
设f（1）=2，f（n）＞0（n∈N+），且f（n1+n2）=f（n1）f（n2）
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）猜想f（n）的解析式；
（3）证明你的猜想．
正确答案
解：（1）f（1）=2，f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=22=4；
f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=22•2=8；
f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=23•2=16；
（2）猜想f（n）=2n，n∈N*
（3）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，f（1）=21=2，∴猜想正确；
②假设当n=k（k≥1）时猜想正确，即f（k）=2k，k∈N*
那么当n=k+1时，f（k+1）=f（k）f（1）=2k•2=2k+1
所以，当n=k+1时，猜想正确
由①②知，对n∈N*，f（n）=2n，正确．
解析
解：（1）f（1）=2，f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=22=4；
f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=22•2=8；
f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=23•2=16；
（2）猜想f（n）=2n，n∈N*
（3）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，f（1）=21=2，∴猜想正确；
②假设当n=k（k≥1）时猜想正确，即f（k）=2k，k∈N*
那么当n=k+1时，f（k+1）=f（k）f（1）=2k•2=2k+1
所以，当n=k+1时，猜想正确
由①②知，对n∈N*，f（n）=2n，正确．
已知函数f（x）=
（1）求证：f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（2）求证：1+
正确答案
解：（1）在[1，+∞）上，
（2）当n=1时，
假设当n=k时不等式成立，即有
则当n=k+1，
=
下面整：
令
由（1）知
也就是证明了
即当n=k，
由此可知，对于一切（n∈N+），
解析
解：（1）在[1，+∞）上，
（2）当n=1时，
假设当n=k时不等式成立，即有
则当n=k+1，
=
下面整：
令
由（1）知
也就是证明了
即当n=k，
由此可知，对于一切（n∈N+），
是否存在a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=
正确答案
解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1，2，3，有
于是，对n=1，2，3下面等式成立
1•22+2•32+…+n（n+1）2=
记Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
②设n=k时上式成立，即Sk=
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=
=
=
也就是说，等式对n=k+1也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．
解析
解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1，2，3，有
于是，对n=1，2，3下面等式成立
1•22+2•32+…+n（n+1）2=
记Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
②设n=k时上式成立，即Sk=
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=
=
=
也就是说，等式对n=k+1也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．
设函数f（x）=x2ex-1-
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，ex-1＞
正确答案
（1）解：f′（x）=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x（x+2）（ex-1-1），
令f′（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）；
（2）证明：设gn（x）=ex-1-
当n=1时，只需证明g1（x）=ex-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=ex-1-1＞0，
所以g1（x）=ex-1-x在（1，+∞）上是增函数，
所以g1（x）＞g1（1）=e0-1=0，即ex-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk（x）=ex-1-
当n=k+1时，
因为g′k+1（x）=ex-1-
所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以gk+1（x）＞gk+1（1）=e0-
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，ex-1＞
解析
（1）解：f′（x）=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x（x+2）（ex-1-1），
令f′（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）；
（2）证明：设gn（x）=ex-1-
当n=1时，只需证明g1（x）=ex-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=ex-1-1＞0，
所以g1（x）=ex-1-x在（1，+∞）上是增函数，
所以g1（x）＞g1（1）=e0-1=0，即ex-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk（x）=ex-1-
当n=k+1时，
因为g′k+1（x）=ex-1-
所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以gk+1（x）＞gk+1（1）=e0-
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，ex-1＞
用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N*），从n=k到n=k+1，左边的式子之比是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：当n=k时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），
当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），
故从n=k到n=k+1，左边的式子之比是 
故选B．
用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1=2n2-2n+1（n∈N*）
正确答案
证明：利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=1=右边，此时等式成立；
（2）假设当n=k∈N*时，1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k2-2k+1（k∈N*）成立．
则当n=k+1时，左边=1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k+1）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k2-2k+1+（2k+1）+（2k-1）=2k2+2k+1=2（k+1）2-2（k+1）+1=右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上可得：对于∀n∈N*，1+3+5+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1=2n2-2n+1成立．
解析
证明：利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=1=右边，此时等式成立；
（2）假设当n=k∈N*时，1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k2-2k+1（k∈N*）成立．
则当n=k+1时，左边=1+3+5+…+（2k-3）+（2k-1）+（2k+1）+（2k-1）+（2k-3）+…+5+3+1=2k2-2k+1+（2k+1）+（2k-1）=2k2+2k+1=2（k+1）2-2（k+1）+1=右边，
∴当n=k+1时，等式成立．
综上可得：对于∀n∈N*，1+3+5+…+（2n-3）+（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1=2n2-2n+1成立．
某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
正确答案
解析
解：由题意可知，
P（n）对n=4不成立（否则n=5也成立）．
同理可推得P（n）对n=3，n=2，n=1也不成立．
故选C
某个命题与正整数有关，如果当n=k（k∈N*）时，该命题成成立，那么可推知n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时命题不成立，那么（ ）
正确答案
解析
解：由题意可知，
对于A，当n=5时命题不成立，当n=4时该命题不成立，故A错误；
对于B，当n=5时命题不成立，则当n=6时该命题可能成立，也可能不成立，故B错误；
对于C，“n为大于5的某个自然数时”中的“某个”并不正确，从某自然数k0开始，以后所有的自然数都使得命题成立，故C错误；
故选：D．
若不等式
（1）猜想正整数a的最大值，
（2）并用数学归纳法证明你的猜想．
正确答案
解：（1）当n=1时，
所以a＜26，
a是正整数，所以猜想a=25．
（2）下面利用数学归纳法证明
①当n=1时，已证；
②假设n=k时，不等式成立，即
则当n=k+1时，
有
=
因为
所以
所以当n=k+1时不等式也成立．
由①②知，对一切正整数n，都有
所以a的最大值等于25．…（14分）
解析
解：（1）当n=1时，
所以a＜26，
a是正整数，所以猜想a=25．
（2）下面利用数学归纳法证明
①当n=1时，已证；
②假设n=k时，不等式成立，即
则当n=k+1时，
有
=
因为
所以
所以当n=k+1时不等式也成立．
由①②知，对一切正整数n，都有
所以a的最大值等于25．…（14分）
用数学归纳法证明：当n为正整数时，13+23+33+…+n3=
正确答案
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=
∴等式成立…2分
（2）假设当n=k时，等时成立，即13+23+33+…+k3=
那么，当n=k+1时，有13+23+33+…+k3+（k+1）3=
=（k+1）2•（
=（k+1）2•
=
=
这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分
根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立…10分
解析
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=
∴等式成立…2分
（2）假设当n=k时，等时成立，即13+23+33+…+k3=
那么，当n=k+1时，有13+23+33+…+k3+（k+1）3=
=（k+1）2•（
=（k+1）2•
=
=
这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分
根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立…10分
设数列{an}满足a1=3，an+1=an2-2nan+2，n∈N*．
（Ⅰ）求出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式（不需证明）；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得2n＞Sn成立的最小正整数n，并给出证明．
正确答案
解 （Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9，猜想an=2n+1．…（4分）
（Ⅱ）Sn=
使得2n＞Sn成立的最小正整数n=6．…（7分）
下面给出证明：n≥6（n∈N*）时都有2n＞n2+2n．
①n=6时，26＞62+2×6，即64＞48成立；…（8分）
②假设n=k（k≥6，k∈N*）时，2k＞k2+2k成立，那么2k+1=2•2k＞2（k2+2k）=k2+2k+k2+2k＞k2+2k+3+2k=（k+1）2+2（k+1），即n=k+1时，不等式成立；
由①、②可得，对于所有的n≥6（n∈N*）
都有2n＞n2+2n成立． …（12分）
解析
解 （Ⅰ）a2=5，a3=7，a4=9，猜想an=2n+1．…（4分）
（Ⅱ）Sn=
使得2n＞Sn成立的最小正整数n=6．…（7分）
下面给出证明：n≥6（n∈N*）时都有2n＞n2+2n．
①n=6时，26＞62+2×6，即64＞48成立；…（8分）
②假设n=k（k≥6，k∈N*）时，2k＞k2+2k成立，那么2k+1=2•2k＞2（k2+2k）=k2+2k+k2+2k＞k2+2k+3+2k=（k+1）2+2（k+1），即n=k+1时，不等式成立；
由①、②可得，对于所有的n≥6（n∈N*）
都有2n＞n2+2n成立． …（12分）
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