热门试卷

解：若存在常数a，b，使等式对于一切n∈N*都成立．

取n=1，2可得，解得a=1，b=4．

则=对于一切n∈N*都成立．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，显然成立．

（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，即…+=．

则当n=k+1时，…++

=+

=

=

=

=．

也就是说当n=k+1时，等式也成立．

综上所述：可知等式对于一切n∈N*都成立．

解：（1）依题意，a2=•=2

同理可得a3=3，a4=a5=，---------------------（4分）

（2）下面用数学归纳法证明：当n≥5时，有an≤．

①当n≤5时，由（1）可得an≤；

②假设n=k时，ak≤（k≥5），

则n=k+1时，ak+1=+×+×+…+×---------（6分）

=+（+×+…+×）

=+ak---------------------------------（8分）

≤+×

=×

≤×=＜．

所以当n=k+1时命题成立

综上，当n≥5时，有an≤．----------------------------------------------（10分）

解：（1）当n=1时，左边=cosα+isinα=右边，此时等式成立；

（2）假设当n=k时，等式成立，即（cosα+isinα）k=coskα+isinkα．

则当n=k+1时，左边=（cosα+isinα）k+1=（cosα+isinα）k（cosα+sinα）

=（coskα+isinkα）（cosα+isinα）=coskαcosα-sinkαsinα+（coskαsinα+sinkαcosα）i

=cos[（k+1）α]+isin[（k+1）α]=右边，

∴当n=k+1时，等式成立．

综上可知：等式对于∀n∈N*都成立．

证明：①当n=1时，1+≤1+≤+1，不等式成立；

②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即1+≤1+++…+≤+k，

则n=k+1时，

1+++…++++…+

≥1++++…+

＞1++

=1++2k•

=1+；

又1+++…++++…+

＜+k+

=+k+2k•

=+（k+1），

即n=k+1时，1+＜1+++…++++…+＜+（k+1），也成立；

综合①②知，对任意的n∈N*，1+≤1+++…+≤+n（n∈N*）．

（1）解：由a1=-，且2an+1+anan+1+1=0得a2=-，a3=-，a4=-

（2）an=-．

证明：①n=1时，结论成立，

②假设n=k时，结论成立，即ak=-，

则n=k+1时，由2ak+1+akak+1+1=0，

得：ak+1=-=，即n=k+1时等式也成立，

由①②可知an=-．

解：（1）∵f（n）=（1+）n-n，

∴f（1）=1，f（2）=-2=，f（3）=-3=-，…（3分）

（2）猜想：n≥3，f（n）=（1+）n-n＜0，…（4分）

证明：①当n=3时，f（3）=-＜0成立，…（5分）

②假设当n=k（n≥3，n∈N+）时猜想正确，即f（k）=-k＜0，

∴＜k，

则当n=k+1时，

由于f（k+1）=（1+）k+1=（1+）k（1+）=（1+）

＜k（1+）＜k+1，…（8分）

∴（1+）k+1＜k+1，即f（k+1）=（1+）k+1-（k+1）＜0成立，

由①②可知，对n≥3，f（n）=（n）=（1+）n-n＜0成立．…（10分）

解：（Ⅰ）根据已知，a2=2a1-4×1+7=2×1-4+7=5；

a3=2a2-4×2+7=2×5-8+7=9；

a4=2a3-4×3+7=2×9-12+7=13．（3分）

（Ⅱ）猜想an=4n-3．（5分）

证明：①当n=1时，由已知，等式左边=1，右边=4×1-3=1，猜想成立．（7分）

②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=4k-3，（8分）

则n=k+1时，ak+1=2ak-4k+7=2（4k-3）-4k+7=4k+1=4（k+1）-3，

所以，当n=k+1时，猜想也成立．（12分）

综合①和②，可知an=4n-3对于任何n∈N*都成立．（13分）

解：（1）由

当n=1时，，∴

当n=2时，，∴

（2）n≥2时，

∵，两式相减，化简可得

（3）由（1）得：；；

由得：；

猜想                       …（8分）

下面用数学归纳法证明猜想成立．

（i）当n=1时，，成立；

（ii）假设n=k时成立，即，

当n=k+1时，∵

∴==

所以，当n=k+1时也成立．…（12分）

由（i）（ii）可知，对一切自然数n都成立，即通项为：=…（14分）

解：（1）当n=1时，a1=S1=2-a1，∴a1=1．

当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2，∴a2=．

当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3，∴a3=．

当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4，∴a4=．

（2）猜想an=（n∈N*）．

证明：①当n=1时，a1=1，结论成立．

②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即ak=，

那么n=k+1时，

ak+1=Sk+1-Sk=2（k+1）-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1．

∴2ak+1=2+ak，

∴ak+1==，

这表明n=k+1时，结论成立，

由①②知猜想an=（n∈N*）成立．

证明：①当n=1时，不等式成立

②假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a1a2a3•…•ak=1

若a1，a2，a3，…，ak相同，则都为1，不等式得证

若a1，a2，a3，…，ak不全相同，则a1，a2，a3，…，ak的最大数和最小数不是同一个数

不妨令a1为a1，a2，a3，…，ak的最大数，a2为a1，a2，a3，…，ak的最小数．

则∵a1a2a3•…•ak=1，∴最大数a1≥1，最小数a2≤1

现将a1a2看成一个数，利用归纳假设，有a1a2+a3+…+ak≥k-1…（1）

由于a1≥1，a2≤1，所以（a1-1）（a2-1）≤0

所以a1a2≤a1+a2-1…（2）

将（2）代入（1），得

（a1+a2-1）+a3+…+ak≥k-1，即a1+a2+a3+…+ak≥k

∴当n=k时，结论正确

综上可知，a1+a2+a3+…+an≥n．