热门试卷

（I）解：∵Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．即6Sn=，

∴当n=1时，6a1=+3a1+2，解得a1=1或2．

当n≥2时，，

∴6an=-3an-1，化为（an+an-1）（an-an-1-3）=0，

∵∀n∈N*，an＞0，∴an-an-1=3，

∴数列{an}是等差数列，公差为3，首项为1或2．

∴an=1+3（n-1）=3n-2，或an=2+3（n-1）=3n-1．

（II）证明：当an=3n-2，bn=log2（1+）=，

数列{bn}的前n项和Tn=++…+=，

要证明3Tn＞log2（），n∈N*．

即证明Tn．

即证明•…•＞．

下面利用数学归纳法证明：

（i）当n=1时，左边=1+1=2，右边=，左边＞右边，不等式成立．

（ii）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即•…•＞．

则当n=k+1时，需要证明：×＞，

即证明：＞成立，

即，即证明（3k+2）3＞（3k+1）2（3k+4），

而（3k+2）3-（3k+1）2（3k+4）=9n+8＞0，

因此逆推可知：×＞，也就是当n=k+1时不等式成立．

综上可得：3Tn＞log2（），n∈N*．

当an=3n-1，同理可证．

证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立．

（2）假设n=k时，等式成立，即…=，

那么n=k+1时，…

====，

即n=k+1时，等式成立．

由（1）（2）可知，等式：…=对于一切n∈N+都成立．

解：n=1时，1=3（a-b）+，n=2时，1+2×3=9（2a-b）+，

所以a=，b=，

所以1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n（n-）+．

用数学归纳法证明等式1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n（n-）+．

（1）当n=1时，由以上可知等式成立；

（2）假设当n=k时，等式成立，即1+2×3+3×32+4×32+…+k×3k-1=3k（k-）+，

则当n=k+1时，1+2×3+3×32+4×32+…+k×3k-1+（k+1）×3k=3k（k-）+（k+1）×3k+

=3k+1[（k+1）-]+

由（1）（2）知，等式结一切正整数n都成立

解：（Ⅰ） 由a1=0，an+1=，

当n=1时，a2=，

当n=2时，a3==，

当n=3时，a3==，

（Ⅱ）由以上结果猜测：an=（6分）

用数学归纳法证明如下：

（1）当n=1时，左边=a1=0，右边═0，等式成立．（8分）

（2）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=成立．

那么，当n=k+1时，ak+1======

这就是说，当n=k+1时等式成立．

由（1）和（2），可知猜测an=对于任意正整数n都成立．

（Ⅰ）解：根据题意，观察可得，

第一个等式的左边、右边都是1，

第二个等式的左边是从2开始的3个数的和，

第三个等式的左边是从3开始的5个数的和，

…

其规律为：第n个等式的左边是从n开始的（2n-1）个数的和，

即n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2；

故答案为：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，

∴左边=右边

（2）假设n=k时等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）=（2k-1）2，

当n=k+1时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）=（2k-1）2+（3k-1）-k+3k+（3k+1）═（2k+1）2．

综上（1）（2）可知n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2对于任意的正整数n都成立．

（Ⅰ）解：∵数列{an}满足．

∴，…（2分）

（Ⅱ）证明：由知  ，．                     （1）

所以    ，

即      ．                              …（5分）

从而  a1+a2+…+an==．                           …（7分）

（Ⅲ） 证明：等价于

证明，

即    ．                          （2）…（8分）

当n=1时，，，

即n=1时，（2）成立．

设n=k（k≥1）时，（2）成立，即 ．

当n=k+1时，由（1）知；         …（11分）

又由（1）及知 均为整数，

从而由 有 即，

所以  ，

即（2）对n=k+1也成立．

所以（2）对n≥1的正整数都成立，

即对n≥1的正整数都成立．     …（13分）

注：不同解法请教师参照评标酌情给分．

解：（1）观察算式：

1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

…

可得1+3+5+…+（2n-1）=n2．

证明：①n=1时，左式=右式=1，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2，

则当n=k+1时，

1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k2+2k+1=（k+1）2

这就是说n=k+1时，等式成立．

根据①，②，等式对任意的n∈N*均成立．

（1）解：f2（x）=f1[f1（x）]=x+2，f3（x）=f1[f2（x）]=x+3，

猜想fn（x）=x+n

证明：①当n=1时，f1（x）=x+1，成立；

②假设n=k时成立，即fk（x）=x+k，则n=k+1时，fk+1（x）=f1[fk（x）]=x+k+1

∴n=k+1时，结论成立

由①②可知fn（x）=x+n；

（2）解：∵fn（x）=x+n

∴f1（x）+f2（x）+…+fn（x）=nx+

∴g（x）=x2+f1（x）+f2（x）+…+fn（x）=x2+nx+=（）2+

①当-＞-1，即n＜2时，函数在（-∞，-1]上为减函数，∴x=-1时，g（x）min==12，方程无正整数解舍去；

②当-≤-1，即n≥2时，x=-时，g（x）min==12，∴n=6或n=-8（舍去）

综上，n=6．

解：（1）当n≥2 时，，故．

又，故可得 ，猜想：．

（2）①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k（k∈N*）时，结论成立，即．

当n=k+1时，，

故结论当n=k+1时也成立． 由①②知，结论对一切的n∈N*成立．

解：当n=1时，2n=2，n2=1，2n＞n2；

当n=2时，2n=4，n2=4，2n=n2；

当n=3时，2n=8，n2=9，2n＜n2；

当n=4时，2n=16，n2=16，2n=n2；

当n=5时，2n=32，n2=25，2n＞n2；

于是可猜测：2n＞n2（n≥5）．

证明：①当n=5时，均有2n＞n2，不等式成立；

②假设n=k（k≥5，k∈N*）时不等式成立，即2k＞k2；

则当n=k+1时，

左边=2k+1=2×2k＞2k2，右边=（k+1）2=k2+2k+1，

∵k≥5，2k2-（k2+2k+1）=k2-2k-1=（k-1）2-2＞0，

∴2k2＞（k+1）2，

即当n=k+1时，2k+1＞（k+1）2，不等式成立；

综上所述，2n＞n2（n≥5，n∈N*）．

解：（1）由4an+1-anan+1+2an=9得an+1==2-，

∵a1=1，

∴a2=2-（-）=，

同理可求，a3=，a4=，猜想an=             …（5分）

（2）证明：①当n=1时，猜想成立．

②设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=，

则当n=k+1时，有ak+1=2-=2-==，

所以当n=k+1时猜想也成立．

综合①②，猜想对任何n∈N*都成立．                      …（10分）