热门试卷

解：（1）1-=，（1-）（1-）==，（1-）（1-）（1-）=．

（2）由（1）猜想：Tn=（1-）（1-）（1-）…（1-）=；

（3）利用数学归纳法证明：

①当n=1时，成立；

②假设当n=k（k∈N*）时，Tk=．

则当n=k+1时，Tk+1=Tk•=•==．

∴当n=k+1时，命题成立．

综上可得：∀n∈N*，Tn=（1-）（1-）（1-）…（1-）=成立．

解：（1）由已知，将an=Sn-Sn-1代入得，，即，

n＞2时，，

由可得；；；

（2）由（1）可猜想；

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，=，猜想成立；

②假设n=k猜想成立，即，则n=k+1时，

===

故当n=k+1时，，猜想成立．

由①②可得，对一切正整数都成立；

∴Sn关于n的表达式为．

解：（1）通过n=1，=，当n=2，=，当n=3，a3=，=．

所以a2，a3，a4的值分别为：．

（2）由（1）可知数列的前4项为：；分子为正自然数列，分母为正自然数加2，所以猜想an的表达式为：．

证明：①当n=1时，显然成立，

②假设n=k时，猜想成立，即：，

那么，n=k+1时，===．

就是说，n=k+1时猜想成立．由①②可知对于n∈N+时猜想成立．

解：①在 Sn=中，令n=1可得，a1=，∴a1=1． 令n=2 可得，1+a2=，

 a2 =3，同理可求，a3=5，a4=7．

猜测an=2n-1．

证明：当n=1时，猜测显然成立，假设   ak=2k-1，

则由  ak+1=sk+1-sk=-=-k2，解得 ak+1=2k+1，

故n=k+1时，猜测仍然成立，

③∵==（- ），

∴Tn=[（1-）+（）+（ ）+…+（-）]=（1- ）

=．

解：（I），定义域为（0，+∞）．

∵，

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

当x≥1时，f（x）≥f（1）=1； （3分）

（Ⅱ）∵，

∵若f（x）存在单调递减区间，

∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解． （5分）

①当a=0时，明显成立．

②当a＜0时，y=ax2+2（a-1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a-1）x+a＜0总有x＞0的解；

③当a＞0时，y=ax2+2（a-1）x+a开口向上的抛物线，

即方程ax2+2（a-1）x+a=0有正根．

因为x1x2=1＞0，

所以方程ax2+2（a-1）x+a=0有两正根．

，解得．

综合①②③知：．  （9分）

（Ⅲ）

（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．

令，则有，

∴．

∵，

∴．   （12分）

（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．

∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．

设当n=k时，命题成立，即 ．

∴n=k+1时，．

根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．

令，则有，

则有，即n=k+1时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．    （12分）

解：（1）∵a1=1，且an+1=，

∴a1=1，a2=，a3=；

（2）由（1）猜想an=．

下面用数学归纳法证明之，

①当n=1时，a1=1，结论成立；

②假设n=k（k≥1）时，结论成立，即ak=，则

n=k+1时，ak+1===，

所以当n=k+1等式成立

根据①②得an=成立．

解：（1）计算a1=18=9×2，a2=45=9×5，a3=108=9×12；    …3分

因为3个数的最大公约数为9，

猜想存在最大的正整数m=9，能使得an=4n+15n-1（n∈N*）能被m整除．…6分

（2）数学归纳法证明：

①当n=1时，a1=18=9×2，能被9整除，结论成立；            …7分

②假设n=k（k∈N*）时结论成立，即4k+15k-1能被9整除         …9分

则当n=k+1时，ak+1=4k+1+15（k+1）-1

变形ak+1=4•4k+15k+14=4（4k+15k-1）-45k+18∴ak+1=4（4k+15k-1）+9（2-5k）…11分

因为由假设结论可知4k+15k-1能被9整除，又因为9（2-5k）也能被9整除   …12分

所以ak+1=4k+1+15（k+1）-1也能被9整除

所以则当n=k+1时，结论成立                     …14分

由①②可知，对任意n∈N*，都有an能被9整除成立．…15分．

证明：记f（n）=1+++．（n∈N*，n＞1）…（2分）

（1）当n=2时，f（2）=1+＞，不等式成立；             …（4分）

（2）假设n=k（n∈N*，n≥2）时，不等式成立，…（6分）

即f（k）=1+++＞，

则当n=k+1时，有f（k+1）=f（k）+＞+=＞=   …（10分）

∴当n=k+1时，不等式也成立．…（12分）

综合（1），（2）知，原不等式对任意的n∈N*，（n＞1）都成立．…（14分）

证明：1°当n=1时，x＞0，原不等式左边=x+≥2，右边=2，

所以左边≥右边，原不等式成立；

当n=2时，x＞0，原不等式左边=x2+1+≥2+1，右边=3，

所以左边≥右边，原不等式成立；

2°假设当n=k时，不等式成立，即xk+xk-2+…++≥k+1，

则当n=k+2时，左边=xk+2+xk+…+++≥k+1+（xk+2+）≥k+1+2=（k+2）+1，

∴n=k+2时，原不等式成立；

由1°、2°，可得对任意x＞0及正整数n，有xn+xn-2+…++≥n+1．

（1）证明：当x＜0时，f（x）各项都是正数，

∴当x＜0时，f（x）为正数，

当0≤x≤1时，f（x）=x6+x2（1-x）+（1-x）＞0；

当x＞1时，f（x）=x3（x3-1）+x（x-1）+1＞0．

综上所述，f（x）的值恒为正数；

（2）因为a，b，c∈R+，a+b+c=1，所以++==3+（）+（）+（）≥3+2+2+2≥9．