热门试卷

解：（1）S1=1-=，S2=1-=，S3=1-=，猜想：Sn=1-．

（2）下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，S1=1-=，成立；

②假设n=k时，猜想成立，即Sk=1-，

则n=k+1时，Sk+1=1-+=1-+-=1-，

∴n=k+1时猜想也成立

根据①②可知猜想对任何n∈N*都成立．

解：（1）数表中前n行共有1+2+22++2n-1=2n-1个数，

即第i行的第一个数是2i-1，

∴aij=2i-1+j-1．

∵210＜2010＜211，aij=2010，

∴i=11．

令210+j-1=2010，

解得j=2010-210+1=987．

（2）∵An=a11+a22+a33+…+ann=（1+2+22+…+2n-1）+[0+1+2+…+（n-1）]

=

∴．

当n=1时，，则An＜n2+n；

当n=2时，，则An＜n2+n；

当n=3时，，则An＜n2+n；

当n≥4时，猜想：．

下面用数学归纳法证明猜想正确．

①当n=4时，，

即成立；

②假设当n=k（k≥4）时，猜想成立，即，

则，

∵，

∴．

即当n=k+1时，猜想也正确．

由①、②得当n≥4时，成立．

当n≥4时，An＞n2+n．

综上所述，当n=1，2，3时，An＜n2+n；当n≥4时，An＞n2+n．

解：（1）观察1+＜，

1++＜，

1+++＜，

1++++＜，

…

各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为

1++++＜且n≥2．…（6分）

（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．

①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立．

②假设当n=k时，不等式成立，即

 1++++＜              …（8分）

那么，当n=k+1时，有 1+++++＜  

===．

所以当n=k+1时，不等式也成立．…（14分）

根据①和②，可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立．…（16分）

（1）证明：要证＜a，只需证b2-ac＜3a2．

∵a+b+c=0，∴只需证b2+a（a+b）＜3a2，只需证2a2-ab-b2＞0，

只需证（a-b）（2a+b）＞0，只需证（a-b）（a-c）＞0．

∵a＞b＞c，∴a-b＞0，a-c＞0，∴（a-b）（a-c）＞0显然成立．故原不等式成立

（2）f（0）+f（1）=+=+==，

同理可得：f（-1）+f（2）=，f（-2）+f（3）=．

由此猜想f（x）+f（1-x）=．

证明：f（x）+f（1-x）=+

=+=

==．

证明：（1）用反证法证明

假设存在ar，as，at成等比数列，

则[（2r+1）•2r-1]•[（2t+1）•2t-1]=（2s+1）2•22s-2．

整理得（2r+1）（2t+1）•2r+t-2s=（2s+1）2．

等式右边为奇数，要使左边等于右边，则r+t-2s=0．

所以，（2r+1）（2t+1）=（r+t+1）2，整理得（r-t）2=0，∴r=t．这与r≠t矛盾，

故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列．

（2）①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时成立

②假设当n=k时成立，即k!≤，

那么当n=k+1时，左边（k+1）!≤•（k+1）=．

∵-=＜0，

∴（k+1）!≤，

∴n=k+1时，不等式成立，

综上，不等式n!≤（）n，n∈N*成立．

证明：①∵当n=1时，-=-＜0，

∴＜，∴＜=，即n=1时，不等式成立；

②假设当n=k时，不等式成立，即•••…•＜．

则当n=k+1时，•••…••＜•=，

∵（）2-（）2==＜0，

∴（）2＜（）2，

∴＜，即n=k+1时，原不等式也成立；

综合①②知，对任意n∈N*，••…＜．

解：（1）因为a1=3，且Sn=6-2an+1（n∈N*），所以S1=6-2a2=a1=3

解得，…（理（2分），文3分）

又，

解得…（理（3分），文6分）

，

所以有…（理（5分），文9分）

（2）由（1）知a1=3=，，，

猜想（n∈N*）…（理（9分），文14分）

（3）①由（1）已得当n=1时，命题成立；…（理10分）

②假设n=k时，命题成立，即 ak=，…（理11分）

当n=k+1时，Sk=6-2ak+1（k∈N*）a1+a2+…+ak=6-2ak+1

即3+++…+=6-2ak+1

ak+1=，

即当n=k+1时，命题成立．…（理13分）

根据①②得n∈N+，an=都成立…（理14分）

解：（1）令n=1可得2b1=a1+a2，a22=b1b2，代入条件得：

，解得a2=3，，

同理得a3=6，b3=8，a4=10，．（4分）

（2）猜想：，．

用数学归纳法证明：

（ⅰ）当n=1时，结论显然成立

（ⅱ）假设n=k时结论成立，即，

当n=k+1时，ak+1=2bk-ak==bk+1=

所以当n=k+1时，结论也成立

综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，，bn=都成立．（8分）

（3）欲证

即证

下面用数学归纳法证明：

（ⅰ）当n=1时，左=，右=，不等式显然成立

（ⅱ）假设n=k时结论成立，即

当n=k+1时

而=

所以

即

则n=k+1时不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都有

亦即．（12分）

证明：（1）当n=3时，左边=43=64，右边=6×32=54，∴左边＞右边，不等式成立；

（2）假设n=k≥3（k∈N*）时成立，即4k＞（k+3）•3k-1．

则当n=k+1时，左边=4k+1=4•4k＞4×（k+3）•3k-1．

∵4（k+3）＞3（k+4），

∴4×（k+3）•3k-1＞3（k+4）•3k-1=（k+1+3）•3k+1-1，

∴左边=4k+1＞4×（k+4）•3k-1＞（k+1+3）•3k+1-1=右边，

∴当n=k+1时，不等式成立．

综上（1）（2）可得：不等式：4n＞（n+3）•3n-1（n∈N*，且n＞2）成立．

解：（1）由条件，依次得，，，…（6分）

（2）由（1），猜想an=2n+1．…（7分）

下用数学归纳法证明之：

①当n=1时，a1=3=2×1+1，猜想成立；        …（8分）

②假设当n=k时，猜想成立，即有ak=2k+1，…（9分）

则当n=k+1时，有，

即当n=k+1时猜想也成立，…（13分）

综合①②知，数列{an}通项公式为an=2n+1．…（14分）

解：（1）观察等式：-1=-1，-1+3=2，-1+3-5=-3，-1+3-5+7=4，-1+3-5+7-9=-5，-1+3-5+7-9+11=6，…

可得-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）=（-1）n•n．

（2）证明：①n=1时，左式=右式=-1，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）=（-1）k•k，

则当n=k+1时，

左式=-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）+（-1）k+1（2k+1）

=（-1）k•k+（-1）k+1（2k+1）

=（-1）k+1（-k+2k+1）

=（-1）k+1（k+1）=右式，

即n=k+1时，等式成立．

根据①，②，等式对任意的n∈N*均成立．

解：f（1）=（2+7）•3+9=36，

f（2）=（2×2+7）•32+9=36×3，

f（3）=（2×3+7）•33+9=36×10，

猜测存在m=36（2分）

①当n=1时，f（1）=（2+7）•3+9=36能被36整除（1分）

②假设n=k时，f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除

当n=k+1时，f（k+1）=[2（k+1）+7）]•3k+1+9

=3[（2k+7）3k+9+（2×3k-9）]+9

=3[（2k+7）3k+9]+6×3k-18

=3[（2k+7）3k+9]+18（3k-1-1）（3分）

∵k∈N*，∴3k-1-1为偶数，18（3k-1-1）能被36整除（2分）

∴f（k+1）=3[（2k+7）3k+9]+18（3k-1-1）能被36整除（1分）

∴n=k+1时，猜测也成立

由①②可知对任意正整数n猜测都成立

故存在m=36（1分）