热门试卷

解：（1）由Sn=-an-①，

得Sn-1=-an-1-（n≥2）②，

由①-②，得an=-an+an-1，即3an=an-1（n≥2）．

由S1=-a1-，得a1=-，

∴数列{an}为以a1=-为首项，为公比的等比数列，

即an=-•=-（n∈N*）．

（2）证明：由

bn==（n∈N*），

得：b1×b2×b3×…×bn==．

因此，要证b1×b2×b3×…×bn＜2×n!，

只要证（1-）（1-）…（1-）＞．

下面用数学归纳法先证明（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）（n∈N*）．

①当n=1，不等式左边=，右边=，

∴不等式成立；           

②设n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，

即（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）（k∈N*），

则当n=k+1时，

左边=（1-）（1-）…（1-）（1-）≥[1-（++…+）]（1-），

而[1-（++…+）]•（1-）=1--（++…+）+（++…+）≥1-（++…++），

即n=k+1时，不等式也成立．

综合①②，（1-）（1-）…（1-）≥1-（++…+）（n∈N*）．成立．

又1-（++…+）=1-=+＞，

∴（1-）（1-）…（1-）＞．成立．

从而b1×b2×b3×…×bn＜2×n!成立．

解：（1）∵数列{an}满足a1=，2an=an-1 +1（n≥2），

∴2a2=a1+1=，∴a2=．

同理a3=，a4=；

（2）猜想通项公式an=1-，证明如下：

①n=1时，结论成立；

②设n=k时，结论成立，即ak=1-，

则n=k+1时，2ak+1=ak+1=2-，∴ak+1=1-，

即n=k+1时，结论成立．

由①②可知an=1-．

解：（1）根据a1=1及计算易得       …（3分）

（2）证明：①，

而＞，故a5＜2，即当n=5时，结论成立．…（5分）

②假设结论对n=k（k≥5）成立，．

因≥，而函数在x＞1时为增函数，所以

，

即当n=k+1时结论也成立．

综合①、②可知，不等式对一切n≥5都成立．…（9分）

（3）由可得，而a1=1，于是         …（11分）

于是当n≥5时，，故所以．…（14分）

证明：设f（n）=++…+，首先利用数学归纳法证不等式an＜，n=3，4，5．

（ⅰ）当n=3时，由a3≤=≤=，知不等式成立．

（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak＜，则ak+1≤=＜===

即当n=k+1时，不等式也成立．

由（ⅰ）（ⅱ）知，an＜，n=3，4，5，…

又由已知不等式得an＜=，n=3，4，5，…

解：（1），，，；

∴猜测出，n∈N*；

（2）证明：1）n=1时，显然猜想成立；

2）假设n=k时猜想成立，即；

∴根据递推公式n=k+1时，=；

∴n=k+1时猜想成立；

综上得对一切n∈N*都成立．

（1）解：（由Sn=（an+）（n∈N*），

令n=1得a1=（a1+）⇒a1=1；

令n=2得a1+a2=（a2+）⇒a2=-1；

令n=3得a1+a2+a3=（a3+），即1+（-1）+a3=（a3+），

整理得：+2a3-1=0，解得a3=-+或a3=--（因为a3＞0，故舍去）；

（2）根据（1）猜想，an=-（n∈N*）．

证明：①当n=1时，a1=1，等式成立；

②假设n=k时，ak=-，

则Sk=a1+a2+…+ak=1+（-1）+（-）+…+（-）=，

则n=k+1时，由Sk+1=Sk+ak+1=+ak+1=（ak+1+），

整理得：+2ak+1-1=0，解得ak+1=-或ak+1=--（舍去），

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，an=-（n∈N*）．

解：当n=1时2n-1＜（n+1）2

当n=2时，22-1=2＜（2+1）2

当n=3时，23-1=4＜（3+1）2

当n=4时24-1＜（4+1）2

当n=5时25-1＜（5+1）2

当n=6时  26-1＜（6+1）2

当n=7时  27-1=（7+1）2

当n=8时  28-1＞8+1）2

…

猜想当n≥8，2n-1＞（n+1）2 恒成立．

数学归纳法证明：

（1）当n=8时，28-1=128，（8+1）2=81，128＞81，2n-1＞（n+1）2 成立

（2）假设当n=k（k≥8）时不等式成立，即有2k-1＞（k+1）2

则当n=k+1时，2（k+1）-1=2k=2•2k-1＞2•（k+1）2=k2+[（k+2）2-2]＞（k+2）2  （∵k2-2＞0）

=[（k+1）+1]2，即是说 当n=k+1时不等式也成立．

由（1）（2）可知当n≥8，时2n-1＞（n+1）2 恒成立．

证明：①当n=2时，原不等式左边=，右边=，左边＜右边，不等式成立；

②假设当n=k时，原不等式成立，即1+++…+＜2-成立，

则当n=k+1时，1+++…++＜2-+=

==．

即n=k+1时原不等式也成立．

综上，对于任意n（n∈N*且n≥2）原不等式成立．

解：因为（1+x）n≥1+nx为关于n的不等式，x为参数，以下用数学归纳法证明：

（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；

当n=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，

因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，

则当n=k+1时，

∵x＞-1，

∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得

（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，

所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当n=k+1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2x2+ln（x+1）（x＞-1），

f′（x）=≥0，

故函数f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）；

（Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，

设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．

由g′（x）=，

（ⅰ）当a=0时，g′（x）=，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，

故g（x）≤g（0）=0成立．

（ⅱ）当a＞0时，由g′（x）==0，因x∈[0，+∞），所以x=-1，

①若-1＜0，即a＞时，在区间x∈（0，+∞）上，g′（x）＞0，则函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，g（x）在x∈[0，+∞）上无最大值，此时不满足条件；

②-1≥0若，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，-1）上单调递减，在区间（-1，+∞）上单调递增，

同样g（x）在x∈[0，+∞）上无最大值，不满足条件．

（ⅲ）当a＜0时，由g′（x）=，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，

∴g′（x）＜0，故函数g（x）在x∈[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．

（Ⅲ）f′（x）=2ax+，∴g（x）=2a（x-1）++1，

当a=时，g（x）=x+（x＞0）

∴[g（x）]n-g（xn）=（x+）n-（xn+）

=（xn+xn-1•+…+）-（xn+）

=xn-2+…+．

令T=xn-2+…+，

则T=+…+xn-2，

∵x＞0，

∴2T=（xn-2+x2-n）+…+（xn-2+x2-n）≥•+…+•

=2（+…+）=2（2n-2）

∴T≥2n-2，即[g（x）]n-g（xn）≥2n-2．…（14分）

解：（1）a1=2，a2=3，a3=4，猜测：an=n+1．

下用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立；

②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=k+1，

由条件，

∴，

两式相减得：，

则当n=k+1时，，

∴ak+1=k+2，即当n=k+1时，猜想也成立．

故对一切的n∈N*，an=n+1成立．

（2）∵an=n+1，即证：

对k=1，2，…，n-2，令，则，

显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），∴xlnx＜（x+k）ln（x+k），

∴，∴fk（x）在（1，+∞）上单调递减．

由n-k≥2，得fk（n-k）≤fk（2），即．

∴ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2．

∴

=+…+

=+…+

≤+…+

=．

即．

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d，，

∵Sn+1+Sn=（n+1）an+1-an-1，

∴+=（n+1）（a1+nd）-[a1+（n-1）d]-1，

化简，得：-+1=0，

即对任意n∈N+都成立，

∴，解得，

∴an=2+4（n-1）=4n-2；

（2）∵a2=6，∴=a1+a2+a1，

化简得=6，所以a1=2，

当n=2时，则a1+a2+a3+a1+a2=，

∴=，

∴a3=10，∴a1，a2，a3成等差数列，首项为2，公差为4，

故猜想：an=4n-2 （n∈N*）．

下面利用数学归纳法来证明数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列：

显然当n=1，2，3时，命题成立；

假设当n=k时成立，即ak=4k-2，

∴Sk==2k2，

∴Sk+1+Sk=（k+1）ak+1-ak-1，即，

∴==4k2+2k，

∴ak+1=4k+2=4（k+1）-2，

∴当n=k+1时也成立，

综上所述，数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．