热门试卷

解：（Ⅰ）方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为．

当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；   当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；

当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8；  当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12；

因为n≥4时，2n＞3n，所以…（6分）

（Ⅱ）当n=4时，；   

当n=5时，；

当n=6时，；   

当n=7时，；

当n=8时，；   

当n=9时，；

所以猜想：当4≤n＜7时，；     

当n=8时，；

当n≥9时，；…（12分）

解：由已知得（1）

（2）猜想，

下面用数学归纳法证明：①，猜想成立；

②假设当n=k（k∈N★）猜想成立，即，

那么∵，

∴

∴，所以当n=k+1时猜想成立

由①和②，可知猜想对任何n∈N★都成立．

证明：（1）当n=1时，由以上可知等式成立；

（2）假设当n=k时，等式成立，即1（k2-12）+2（k2-22）+…+k（k2-k2）=k4-k2，

则当n=k+1时，1[（k+1）2-12]+2[（k+1）2-22]+…+（k+1）[（k+1）2-（k+1）2]=（k+1）4-（k+1）2

=1（k2-12）+2（k2-22）+…+k（k2-k2）+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）

=k4-k2+（2k+1）=．

由（1）（2）知，等式对一切正整数n都成立．

解：（1）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3

由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4

由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5

（1）用数学归纳法证明

①由a1=2=1+1知n=1时，an=n+1成立

设n=k（k属于正整数）时an=n+1成立，即ak=k+1

则当n=k+1时，因为an+1=an2-nan+1，

所以ak+1=ak2-k（k+1）+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k2+2k+1-k2-k+1=k+2

综上，an=n+1成立

解：（1）根据多项式乘法的运算法则，fn（x）的展开式中x项的系数为an=2+22+23+…+2n=2n+1-2．

（2）用为an、bn分别是fn（x）的展开式中x项、x2项的系数，则可设fn（x）=1+anx+bnx2+…，则

fn+1（x）=fn（x）•（1+2n+1）=1+（an+2n+1）x+（bn+2n+1•an）x2+…，

∴bn+1=bn+2n+1an．

（3）假设存在a、b，使得bn=（2n-1-1）（2na+b）对一切n≥2且n∈N*恒成立，则

b2=（2-1）（22a+b），即4a+b=b2．①

同理8a+b=b3．②

又由f2（x）=1+6x+8x2，得a2=6，b2=8．从而b3=56，

代入①、②得a=1，b=-1．　　

猜想：bn=（2n-1-1）（2n-1）（n≥2）． 

证明如下：（i）n=2时，已经证明成立；

（ii）假设n=k时结论成立，即bk=（2k-1-1）（2k-1），

则n=k+1时，bk+1=bk+2k+1ak=（2k-1-1）（2k-1）+2k+1（2k+1-2）=（2k-1）（2k+1-1），

∴n=k+1时，结论成立，

由（i）（ii）可得bn=（2n-1-1）（2n-1）（n≥2）．

解：（1）由a1=，anan-1-2an+1=0（n≥2），得a2=，a3=，a4=，a5=．

（2）由以上结果猜测：an=用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，左边=a1=，右边==，等式成立．

②假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=成立．

那么，当n=k+1时，ak+1ak-2ak+1+1=0，所以ak+1•-2ak+1+1=0，解得．

这就是说，当n=k+1时等式成立．

由①和②，可知猜测an=对于任意正整数n都成立．（12分）

解：（1）令n=2，∵，∴，即a1+a2=3a2．∴．

令n=3，得，即a1+a2+a3=6a3，∴．

令n=4，得，a1+a2+a3+a4=10a4，∴．

（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明．

①当n=1时，结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即，

则当n=k+1时，

=，

即．

∴

∴．

∴当n=k+1时结论成立．

由①②可知，对一切n∈N+都有成立．

解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．

∴a2==，a3==，a4==．

由此推测{an}的通项公式，an=．

下面利用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1==成立；

②假设当n=k∈N*时，ak=．

则n=k+1时，ak+1===，

因此当n=k+1时也成立，

综上：∀n∈N*，an=成立．

（2），

∴bn=（-2）n=+9，

∴无穷数列{bn}的各项之和Tn=+=-=+-．

当n=2k（k∈N*）时，Tn=+-，Tn单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．

当n=2k-1（k∈N*）时，Tn=×--，Tn单调递增，且Tn＜0．

综上可得：Tn的最大项为T2=．

解：（Ⅰ）∵an=n2，n∈N*

∴s1=a1=1，s2=a1+a2=1+4=5，s3=a1+a2+a3=1+4+9=14．…（6分）

（Ⅱ）证明：（1）当n=1时，左边=s1=1，

右边==1，

所以等式成立．…（8分）

（2）假设n=k（k∈N*）时结论成立，即Sk=，…（10分）

那么，Sk+1=Sk+（k+1）2

=+（k+1）2

=

=

=

即n=k+1时，等式也成立．…（13分）

根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N*都成立．…（14分）

解：（Ⅰ）∵动圆与直线y=-3相切，并与定圆x2+y2=1相内切，

∴P到原点的距离等于P到直线y=-2的距离，由抛物线定义可知，P的轨迹是以原点为焦点，直线y=-2为准线的抛物线，其轨迹方程为x2=4（y+1）；

（Ⅱ）（i）设Pn（xn，yn）、Pn+1（xn+1，yn+1）在抛物线上，故xn2=4（yn+1），①xn+12=4（yn+1+1）②，又因为直线PnPn+1的斜率为，可得xn+1+xn=

∴bn=x2n+1-x2n-1=（x2n+1+x2n）-（x2n+x2n-1）=-=-，

故数列{bn}是以-1为首项，以为公比的等比数列；

（ii）bn=-，∴Sn=-（1-），

∴Sn+1=，

故只要比较4n与3n+10的大小．

4n=（1+3）n=1+•3+•32+…+＞1+3n+＞1+3n+9=3n+10（n≥3），

当n=1时，Sn+1＞；

当n=2时，Sn+1=；

当n≥3，n∈N*时，Sn+1＜．

证明：（1）①当n=1时，a1=a＞2，命题成立．

②假设当n=k（k∈N*），命题成立，即ak＞2．

则当n=k+1时，ak+1-2=-2=＞0，

所以当n=k+1时ak+1＞2也成立，

由①②得，对任意自然数n，都有an＞2．

（2）an+1-an=-an=，

由（1）可知an＞2＞0，

即有an+1-an＜0，

即an+1＜an（n∈N*）．

解：（1）f（1）=1，f（2）=1+=，f（3）=1++=，f（4）=1+++=．

∴g（2）=×f（1）=2，g（3）=[f（1）+f（2）]=3，g（4）=[f（1）+f（2）+f（3）]=4．

（2）由（1）猜想g（n）=n（n≥2）．

下面利用数学归纳法证明：

①当n=2时成立；

②假设当n=k（k∈N*，k≥2）时，g（k）=k．

即g（k）=[f（1）+f（2）+…+f（k-1）]=k，

∴f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）-k，

则当n=k+1时，g（k+1）=[f（1）+f（2）+…+f（k）]

=•[（k+1）f（k）-k]

=k+1．

因此当n=k+1时，命题g（k+1）=k+1成立．

综上可得：∀n∈N*，g（n）=n（n≥2）成立．