热门试卷

（1）由题意得： ；；

；    ……………3分

.     ……………4分

（2）证法一：

证明：由已知，，.

因此，猜想.      ……………5分

① 当时，，猜想成立；

② 假设时，.

当时，

故当时猜想也成立.

由 ①、② 可知，对于任意正整数，有. ………………8分

设数列的“生成数列”为，则由以上结论可知

，其中.

由于为偶数，所以，    ……………9分

所以 ，其中.

因此，数列即是数列.        ………………10分

证法二：

因为 ， ， ，

……   ，   ………………7分

由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得

即，.        ………………9分

由于，，

根据“生成数列”的定义知，数列是的“生成数列”.     ………………10分

（3）证法一：

证明：设数列,,中后者是前者的“生成数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可.   ……12分

由（2）中结论可知 ，

，

所以，，即成等差数列，

所以是等差数列.     ………………18分

证法二：

因为 ，

所以 .

所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.        ………………12分

对于数列及其“生成数列”，

因为 ， ， ，

…… ，

由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，

相加得

      即.

设数列的“生成数列”为，因为 ，，

所以 ， 即成等差数列.

同理可证，也成等差数列. 即 是等差数列.

所以 成等差数列.     ………………18分

（1）因为点P(1，－1)在曲线y＝f(x)上，所以－m＝－1，解得m＝1.

因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y＝－1。

（2）因为。

①当m≤0时， x∈(1，e)， f ′(x)＞0，所以函数f (x)在(1，e)上单调递增，则f (x) max＝f (e)＝1－me。

②当，即时，x∈(1，e)， f ′(x)＞0，所以函数f (x)在(1，e)上单调递增，则f (x)max＝

f (e)＝1－me，                                     

③当，即时，函数f (x)在 上单调递增，在上单调递减，

则f (x) max＝＝－lnm－1.                        

④当，即m≥1时，x∈(1，e)， f ′(x)＜0，函数f (x)在(1，e)上单调递减，则f (x) max＝f (1)＝－m，

综上，①当时，f (x)max＝1－me；

②当时，f (x)max＝－lnm－1；

③当m≥1时，f (x)max＝－m，                  

（3）不妨设x1＞x2＞0.因为f (x1)＝f (x2)＝0，所以lnx1－mx1＝0，lnx2－mx2＝0，

可得lnx1＋lnx2＝m(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝m(x1－x2)。

要证明x1x2＞e2，即证明lnx1＋lnx2＞2，也就是m(x1＋x2)＞2。

因为，所以即证明，即。

令，则t＞1，于是。

令＝（t＞1），则。

故函数(t)在（1，＋∞）上是增函数，所以，即成立，

所以原不等式成立，

（1）（2分）

由题意    （4分）

（2）当时，，，

显然g(x)在上单调递减，在上单调递增，又此时

故，               （2分）

                （4分）

从而：=，                          （6分）

（3）

1）当时，=g(1)=a+2b-1, =g(3)=3a+b

此时，

2) 当时，=g(3)=3a+b, = g(1)=a+2b-1

此时，                      （2分）

3) 当时，= g(1)=a+2b-1,= g(b)=ab+b，   此时，

4) 当时，=g(3)=3a+b,= g(b)=ab+b，   此时，

故，               （4分）

因在上单调递减，在单调递增，故=h()=,            （6分）

故当时，得，           （8分）

（1）由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A。

所以解得a＝1，b＝8，

所以，其中t＝

令f(n)＝8A，得，解得，

即，所以n＝9.

所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍， 

（2）由（1）知。

第n年的增长高度为， 

所以

当且仅当64tn＝，即时取等号，此时n＝5。

所以该树木栽种后第5年的增长高度最大，

（1）若是“函数”，则存在实数对，使得，

即时，对恒成立     ……2分

而最多有两个解，矛盾，

因此不是“函数”      ……3分

② 答案不唯一：如取，恒有对一切都成立，         ……5分

即存在实数对，使之成立，所以，是“函数”。  ……6分

一般地：若是“函数”，则存在实数对，使得

即存在常数对满足，故是“函数”。

（2）函数是一个“函数”

设有序实数对满足，则恒成立

当时，，不是常数；  　……8分

因此，当时，

则有，   ……10分

即恒成立，

所以          　……13分

当时，

满足是一个“函数”的实数对……14分

（1），       （1分）

由得；由得.

在上为增函数，在上为减函数.        （3分）

函数的最大值为.      （4分）

（2）.

①由（1）知，是函数的极值点，

又函数与有相同极值点，

是函数的极值点，

，解得.        （7分）

经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意.    （8分）

②，

易知，即.

.      （9分）

由①知.

当时，；当时，.

故在上为减函数，在上为增函数。

，

而.

.       （10分）

当，即时，对于，不等式恒成立.

，

.         （12分）

当，即时，对于，不等式恒成立.

，

.

综上，所求实数的取值范围为.       （14分）

（1）是R上的减函数

由可得在R上的奇函数，

在R上是单调函数，

由，所以为R上的减函数。

（2）由，又由于

又由（1）可得

即：

解得：

不等式的解集为