热门试卷

（1）因为f(x)＝

……

所以函数f(x)的最小正周期为2π

（2）令

得，k∈Z  

故函数f(x)的单调增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z  

（1）设=

则：  

=      解得 

（2）

所以的单增区间是，；的单减区间是

（3）

若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，

即在恒成立，

在恒成立，令

则，解得，所以

所以函数在区间上单调递增时的取值范围为：

（1）  

∵    ∴ ∴   

∴ ，显然在附近符号不同，

∴ 是函数的一个极值点   

∴  

（2）若函数在不单调，

则应有二不等根   

∴  ∴  

∴ 或

（3），设切点，

则纵坐标，又，

∴ 切线的斜率为，得 

设，∴

由0，得或，

∴在上为增函数，在上为减函数，

∴ 函数的极大值点为，极小值点为，

∵  ∴ 函数有三个零点 

∴ 方程有三个实根

∴ 过点可作曲线三条切线    

由求导得，，

（1）当时，，

所以在点（1，）的切线方程是

（2）令得：

（1）       当即时

故的极大值是；极小值是；

（2）当1即时

在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减，

所以的极大值为，无极小值。

（3）设

对求导，得，

因为，，所以，

在区间上为增函数，则。

依题意，只需，即，

即，解得（舍去）。

所以正实数的取值范围是。

（1）由，则，直线的方程为：

由，得，即0，

（i）当时，方程无解；

（ii）当时，由，得，综上可得，。

（2），

（i）若函数在它的定义域内是单调递增函数，由，对，即，，而函数在的值域为，所以，。

（ii）若函数在它的定义域内是单调递减函数，由，对，即，，而函数在的值域为，所以。

综上可得，若函数在它的定义域内是单调函数，的取值范围是。

解：（1）                              

令   解得：                         

当变化时，的变化情况如下：

取得极大值为-4；

（2）设

若                    

若

令                   

当

当

即

解不等式得：

当满足题意。

综上所述             

（1）函数图象过点，切线斜率为,……………2分

,∴.………………6分

（2）令，则.

若，则，∴成立.………………8分

若，则.

∴当时，；当时，.

∴的上单调递减；在上单调递增.

∴.……………11分

又∵，，

∴.

∴,即恒成立.

综上，当时.…………………14分

（1）由题意得，当a=1时，f（x）=x2﹣ex，

∴f′（x）=2x﹣ex，则切线的斜率为f′（0）=﹣1，

∵f（0）=﹣e0=﹣1，

∴所求的切线方程为：x+y+1=0；

（2）设g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，

由题意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的两个实根，

则g′（x）=2a﹣ex，

当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，

当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，

当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递增，

当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递减，

∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，

∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有两个实根，

∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，

（3）设h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则由题意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，

则h′（x）=ex﹣2ax﹣1，

当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，

∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），

当1﹣2a≥0时，即a≤，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，

因而a≤时，h（x）≥0，

下面证明a＞时的情况：

由ex≥1+x得，e﹣x≥1﹣x，即x≥1﹣e﹣x，

∴h′（x）=ex﹣1﹣2ax≤ex﹣1﹣2a（1﹣e﹣x）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）

当ex＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0，

因此，对于x≥0，f（x）≤﹣x﹣1不恒成立，

综上所得，a的最大值为。

（1）∵=•AD•AC•sin∠DAC=×6×7×sin∠DAC，解得 sin∠DAC=。

再由AC平分∠DAB，可得∠DAB=2∠DAC，∴cos∠DAB=cos2∠DAC=1﹣2sin2∠DAC=1﹣=。

（2）△ABC中，sin∠BAC=sin∠DAB=，由正弦定理可得 ，即 ，解得BC=5。

再由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•sin∠BAC，即 25=AB2+49﹣14AB•，

解得 AB=8，或 AB=﹣3（舍去）。

综上，AB=8，BC=5