函数的概念与基本初等函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数。

（1）若f(x)在(2，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(2，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；

（2）若g(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

（1） f(x)在(2，＋∞)上是单调减函数，则当，f′(x)＝－a0恒成立，

恒成立，

.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln a时，g′(x)>0.又g(x)在(2，＋∞)上有最小值，所以ln a>2，即a>e2.

综上，有a∈(e2，＋∞)。

（2）当，恒成立，

令f(x)=0,，设

，令

当在(0,e)上单调递增

当在(e,+∞)上单调递减

∴h(x)的最大值为h(e)=

h(x)的大致图象如图所示：

当时无零点，时，两个零点，时一个零点。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知函数的图象关于直线对称，则可能是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为函数的图象关于直线对称，所以，所以可能是。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若函数y＝log2(x2－2x－3)的定义域、值域分别是M、N，则（）

A[－1, 3]

B(－1, 3)

C(0, 3]

D[3, ＋∞)

正确答案

A

解析

由x2－2x－3>0得x<-1或x>3，所以，易知，所以[－1, 3]。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

函数在定义域内零点的个数为

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

易知函数的定义域为，函数在定义域内零点的个数即函数交点的个数。画出函数的图像，如图，由图可知：零点的个数为2.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是

A[ 0，2]

B(0，2)

C[0，2)

D(0，2]

正确答案

D

解析

因为函数的定义域是[0，4]，所以对于函数需满足：

，所以函数的定义域为(0，2]。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

已知函数，若且，则的取值范围是

正确答案

（0，+∞）

解析

画出函数的图像，如图，若且，不妨设，则，，，所以的取值范围是（0，+∞）。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

二次函数，它的导函数的图象与直线平行。

（1）求的解析式；

（2）若函数的图象与直线有三个公共点，求m的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解: （1）且f(0)=2 所以 c=2

又f (x)=f (－2－ x) 所以图像的对称轴

导函数图象与直线从而解得：

（2）

设则有或

在（－∞，－1]、上递增，

在上递减

且

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 8 分

函数f(x)=的定义域为集合A，关于x的不等式32ax<3a+x(a∈R)的解集为B，

求使A∩B=A的实数a的取值范围。

正确答案

见解析

解析

由≥0，得1<x≤2，

即A={x|1<x≤2}，

∵y=2x是R上的增函数，

∴由22ax<2a+x，得2ax<a+x，

∴B={x|(2a-1)x＜a}，

①当2a-1>0，即a>时，x<.

又∵A⊆B，∴>2，解得<a<.

②当2a-1=0，即a=时，x∈R，满足A∩B=A.

③当2a-1<0，即a<时，x>.

∵A⊆B，∴≤1，解得a＜或a≥1，∴a<.

综上，a的取值范围是.

知识点

函数的概念及其构成要素

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

已知函数的图像过点，且b>0，又的最大值为.

（1）将写成含的形式;

（2）由函数y =图像经过平移是否能得到一个奇函数y =的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1），

由题意，可得

，解得

所以

（2）将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，而函数为奇函数，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知函数。

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）当，且时，证明：

正确答案

见解析

解析

（1）函数的定义域为，

所以。

令，得

当变化时，，的变化情况如下表：

由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是。

所以在处取得极大值，。

知识点

函数的概念及其构成要素

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

在平面直角坐标系中，若、两点同时满足：①点、都在函数图象上；②点、关于原点对称，则称点对是函数的一个“姐妹点对” （注：点对与为同一“姐妹点对”）。已知函数，。

（1）当时，有________个“姐妹点对”；

（2）当有“姐妹点对”时，实数的取值范围是________。

正确答案

（1）1 （2）(1,+∞)

解析

（1）

当时，，

；

当时，，

.

故两种情况的“姐妹点对”一样，答案只有一对。

（2）

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设函数，在处取最小值。

（1）求的值；

（2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，，求的值。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）

，又

（2），

，

，又

，

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图一，是正三角形，是等腰直角三角形，.将沿边折起，使得与成直二面角，如图二，在二面角中。

（1）求证：；

（2）求、之间的距离；

（3）求与面所成的角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

（1）面面，面面，面，

面，又面

（2）面，面

在中，，

（3）取的中点，连结、和

是正三角形

，又面面

面，即是在面内的射影

则为直线与面所成的角

，

故直线与面所成的角的正弦值为

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数f(x)=x－ax + (a－1)，。

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）已知a =1，，若数列{an}的前n项和为，证明：

。

正确答案

见解析

解析

解（1）可知的定义域为，有

因为，所以。

故当时；当或时。

综上，函数在区间上单调递减，在区间和上单调增加.

（2）由，知，所以。

可得

所以。

因为

所以

综上，不等式得证，

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若函数存在极值，则实数的取值范围是

A(-1,1)

B[0,1)

C(1,+∞)

D(-∞,-1)

正确答案

A

解析

∵f'(x)=cosx-k=0，

∴k=cosx∈[-1,1]

知识点

函数的概念及其构成要素

热门试卷

正确答案

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