函数的概念与基本初等函数_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C、D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(m3)，表面积为S(m2).

（1）求V关于θ的函数表达式；

（2）求体积V的最大值；

（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

（1）梯形ABCD的面积

SABCD＝·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，

体积V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，.

（2）V′(θ)＝10(2cos2θ＋cosθ－1)

＝10(2cosθ－1)(cosθ＋1).

令V′(θ)＝0，得cosθ＝，或cosθ＝－1.

∵，∴cosθ＝，∴θ＝.

当时，＜cosθ＜1，V′(θ)＞0，V(θ)为增函数；

当时，0＜cosθ＜，V′(θ)＜0，V(θ)为减函数.

∴当θ＝时，体积V最大，最大值为.

（3）木梁的侧面积

S侧＝(AB＋2BC＋CD)·10＝20，.

S＝2SABCD＋S侧＝2(sinθcosθ＋sinθ)＋20(cosθ＋2sin＋1)，.

设g(θ)＝cosθ＋2sin＋1，.

∵g(θ)＝－2sin2＋2sin＋2，

∴当sin＝，即θ＝时，g(θ)最大.

又由（2）知θ＝时，sinθcosθ＋sinθ取得最大值，

∴θ＝时，木梁的表面积S最大.

综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.设函数，，

（1）对于任意实数，恒成立，求的最小值；

（2）若方程在区间有三个不同的实根，求的取值范围．

正确答案

（1）4

（2）

解析

解析： (1)

对称轴

即的最小值为4

(2) 令

当时，随变化如下表

在区间有三个不同的实根

解得

当时，随变化如下表

在区间有三个不同的实根

解得，

又∵ ∴ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当时，递增,不合题意.

(Ⅳ) 当时,在区间最多两个实根，不合题意

综上：或.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

15.在平面直角坐标系中，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按顺时针方向旋转后与单位圆交于点.记，其中角为锐角.

（1）求函数的值域；

（2）设的角所对的边分别为，若，且，，求.

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意，得，

所以=，

因为，所以，故.

（2）因为，又，所以，

在中，由余弦定理得，即，

解得或.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为（　　）

Ay=sin（x﹣）

By=sin（x﹣）

Cy=sin4x

Dy=sinx

正确答案

D

解析

将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为y=sinx，故选：D.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.已知函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0，]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的

取值集合为（）

正确答案

解析

‍‍即，其中kZ，则k＝或k＝或k＝1.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.已知是定义在上的奇函数，且当时，，函数，且对，，使得，则实数的取值范围是（）

正确答案

解析

由已知得，，由条件知，解得，

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.设函数，则满足的的取值范围是__________.

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19.设函数

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，讨论函数的单调性.

（3）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）函数的定义域为.当时，当时，单调递减；当时，单调递增

，无极大值.

（2）

当，即时，在定义域上是减函数；

当，即时，令得或令得

综上，当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；

（3）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值，是最小值.，而经整理得，由得，所以

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

将函数的图象向左平移个单位得，函数

图像，再将这个函数图像向上平移一个单位得，图像.故选A.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 (　　)

Aa

B

C

D2a

正确答案

B

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

15.若函数，则。

正确答案

2

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

11. 函数的定义域为（）．

正确答案

{x|x＞2且x≠3}

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

21. 已知函数f（x）=2lnx+．

（1）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直时，求实数m的值；

（2）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）9

（2） [2，+∞）

解析

（1）∵f′（x）=﹣，

∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=2﹣，

∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y﹣4x+1=0垂直，

∴2﹣=﹣，

∴m=9；

（2）依题意不等式2lnx+≥1在x≥1时恒成立，即m≥x+1﹣2（x+1）lnx在x≥1时恒成立．令g（x）=x+1﹣2（x+1）lnx（x≥1），则g′（x）=1﹣[2lnx+]=﹣，

∴x≥1时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在[1，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（1）=2，∴m≥2

即实数m的取值范围是[2，+∞）．

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13. 已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则+的最小值是（）

正确答案

8

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

21. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．

（1）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（2）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；

（3）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），

∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，

∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（2），定义域为（0，+∞），，

①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，

∵x＞0，∴x＞1+a

令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．

②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，

综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．

当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（3）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，

即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，

即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．

由第（2）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，

∴，∴，

∵，∴；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，

∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，

∴a≤﹣2，

③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，

∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2

此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．

知识点

函数的概念及其构成要素

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