函数的概念与基本初等函数_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

定义在上的函数同时满足性质：①对任何，均有成立；②对任何，当且仅当时，有.则的值为 .

正确答案

0

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如果函数y的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是

A∪

B

C

D

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数。

（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）解： …………1分

由已知，解得， …………3分

（2）解：函数的定义域为。

1）当时, ，的单调递增区间为；……5分

2）当时，

当变化时，的变化情况如下：

由上表可知，函数的单调递减区间是；

单调递增区间是， …………8分

（3）解：由得，…………9分

由已知函数为上的单调减函数，

则在上恒成立，

即在上恒成立。

即在上恒成立， …………11分

令，在上，

所以在为减函数。,

所以， …………14分

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等式的解集是　　。

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知是定义在上的单调递增函数，且满足，则实数的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知向量，，，，则是

A最小正周期为的偶函数

B最小正周期为的奇函数

C最小正周期为的偶函数

D最小正周期为的奇函数

正确答案

A

解析

是偶函数，最小正周期为.

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

设a为常数，函数，若在上是增函数，则的取值范围是　。

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

函数的反函数是　　（　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

已知，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是。

正确答案

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知函数（>0, ）的图象如图所示，则=____，=___.

正确答案

2，

解析

略

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

对于定义域为的函数，如果任意的，当时，都有，则称函数是上的严格增函数；函数是定义在上，函数值也在中的严格增函数，并且满足条件.

（1）判断函数是否是N上的严格增函数；

（2）证明：；

（3）是否存在正整数，使得，若存在求出值；若不存在请说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）是N上的严格增函数.

此因由于，，设，且，注意到递增

，

是N上的严格增函数. __________3分

（2）证明：对①

由已知②由①，②__________6分

（3）若由已知得，矛盾；

设，，③

由严格递增，即，

，，__________9分

由③有故

，.

依此类推可知.__________11分

且存在当自变量从时，

函数值正好从；

又因为，

函数值个，变量.

所以存在.__________13分

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设函数f（x）=，x≠0。

（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；

（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）﹣1|＜a成立。

正确答案

见解析。

解析

解：（1）f′（x）==，

令h（x）=（x﹣1）ex+1，则h′（x）=ex+ex（x﹣1）=xex，

当x＞0时，h′（x）=xex＞0，∴h（x）是上的增函数，

∴h（x）＞h（0）=0

故f′（x）=＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，

（2）|f（x）﹣1|=||，

当x＞0时，令g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0

故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）﹣1|=，

原不等式化为＜a，即ex﹣（1+a）x﹣1＜0，

令∅（x）=ex﹣（1+a）x﹣1，则∅′（x）=ex﹣（1+a），

由∅（x）=0得：ex=1+a，解得x=ln（1+a），

当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0。

故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a），

令s（a）=﹣ln（1+a），a＞0则s′（a）=＜0。

故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a﹣（1+a）ln（1+a）＜0。

因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立。

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数在点处的切线与轴的交点为,令

（1）用n表示,并求

（2）求：

（3）设，，其中

试比较与的大小，并证明你的结论；

正确答案

见解析。

解析

（1）

∴函数在点处的切线方程为

令，得

，

∵数列是首项，公差的等差数列，

（2）

（3）∵组成以为首项，以为公差的等差数列

组成以为首项，以2d为公差的等差数列，

∴对于正整数n，当时，;当n=19时，

当时，

知识点

函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若，证明对，总有成立；

（3）设，试确定函数在[1，e]上的零点个数。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，

令，得，得

当时，，当

∴当时，函数有最小值，

（2）证明：

又

即对，总有成立，

（3）解法一：函数的零点，即方程的实根，

将方程化为

由（1）知

令，

则

，即函数在[1，e]上为增函数，

，

∴当时，方程有一个实根，函数有一个零点；

当或时,方程没有实根,函数没有零点，

解法二：

当时，对恒成立，即函数在[1，e]单调递增，

则当，即时，函数在[1，e]上有唯一零点，结合，解得

当时，函数,在单调递减，在单调递增，

∴函数在[1，e]上无零点，

当时，函数在[1，e]单调递减，

∴函数在[1，e]上无零点，

综上可知，当时，函数有一个零点，

当或时，函数没有零点，

知识点

函数的概念及其构成要素

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正确答案

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