函数的概念与基本初等函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

19．设函数sgn（x）=，求函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点．

正确答案

解：①当lnx＞0，即x＞1时，

f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为：1﹣ln2x=0，

解得，x=e；

②当lnx=0，即x=1时，

f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为0﹣ln21=0，显然成立；

③当lnx＜0，即0＜x＜1时，

f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x=0可化为：

﹣1﹣ln2x=0，

无解；

综上所述，

x=e或x=1．

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函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．定义：若对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）≤成立，则称函数f（x）在（a，b）上为凹函数．已知凹函数具有如下性质：对任意的xi∈（a，b）（i=1，2，…，n），必有f（）≤成立，其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立．

（1）试判断y=x2是否为R上的凹函数，并说明理由；

（2）若x、y、z∈R，且x+y+2z=8，试求x2+y2+2z2的最小值并指出取得最小值时x、y、z的值．

正确答案

解：（1）f（）=（）2，=≥=（）2，

∴ 对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）≤成立，

∴ y=x2是R上的凹函数；

（2）∵（x2+y2+2z2）（12+12+2）≥（x+y+2z）2=64，

∴ x2+y2+2z2≥16，当且仅当x=y=z时取等号，

∵ x+y+2z=8，∴ x=y=4（+1），z=4+2．

∴ x2+y2+2z2的最小值为16，

此时x=y=4（+1），z=4+2．

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函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．函数在点处的切线是（）

A

B

C

D

正确答案

B

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函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

18．已知函数

（Ⅰ）求的最大值及此时x的值；

（Ⅱ）求的值。

正确答案

解：（I）

∴，此时：。

（II）原式

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函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

21．已知是函数的一个极值点，其中。

（Ⅰ）求与的关系表达式；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求实数的取值范围。

正确答案

解：（I），

是的一个极值点，所以，即，

。

（II）解：由（1）知

由于时，故，当变化时与的变化如下表：

由上表知：当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减。

（III）由已知,得对恒成立,

即：对恒成立，

令，，得图象开口向下，

，即，得

即：的取值范围是。

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函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

15．已知函数，则下列结论正确的是（　　）

Af（x）是偶函数

Bf（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数

Cf（x）是周期函数

Df（x）的值域为[﹣1，+∞）

正确答案

D

解析

选项A，

∵ 函数，

∴ f（1）=14+12=2，

f（﹣1）=cos（﹣1）=cos1≠2．

∴ f（﹣x）=f（x）．

∴ f（x）不是偶函数；

选项B，

当x=﹣2π时，f（﹣2π）=cos（﹣2π）=1，

当x=﹣π时，f（﹣π）=cos（﹣π）=﹣1，

∵ ﹣2π＜﹣π，f（﹣2π＞f（﹣π），

∴ f（x）在（﹣∞，+∞）上不是增函数；

选项C，

∵ f（x）在（0，+∞）是增函数；

∴ f（x）不是周期函数；

选项D，

当x＞0时，y=x4+x2＞0，

当x≤0时，y=cosx∈[﹣1，1]，

∴ f（x）的值域为[﹣1，+∞）．

故选D．

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函数的概念及其构成要素

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

18．已知f（x）=3x2﹣x+4，f[g（x）]=3x4+18x3+50x2+69x+48，那么整系数多项式函数g（x）的各项系数和为（　　）

A8

B9

C10

D11

正确答案

A

解析

由题意得g（x）的表达式是二次式，

设g（x）=ax2+bx+c，

∴ f[g（x）]=3（ax2+bx+c）2﹣（ax2+bx+c）+4

=3a2x4+6abx3+（3b2+6ac﹣a2）x2+（6bc﹣b）x+3c2﹣c+4

=3x4+18x3+50x2+69x+48，

∴ ，解得：，

∴ a+b+c=8，

故选：A．

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函数的概念及其构成要素

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g（x）=，且a＞0．

（1）若g（x）是奇函数，试求f（x）在R上的值域；

（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当b＞0时，判断f（x）在（﹣1，1）上的单调性；

（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．

正确答案

解：（1）因为g（x）为奇函数，

所以g（﹣x）=﹣g（x），

又函数g（x）=，

则=﹣，

化简可得b=0，

所以f（x）=ax2+1，定义域为R，

所以函数f（x）的值域为[1，+∞）；

（2）由方程g（x）=x整理可得a2x2+bx+1=0，

因为方程g（x）=x有两个不相等的实根，

所以△=b2﹣4a2＞0，即||＞1，即＞1或＜﹣1，

又因为函数f（x）=ax2+bx+1的对称轴为x=﹣，并且a＞0，

所以当﹣＜﹣1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数；

当﹣＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．

（3）由可得，

设α为x1与x2中的一个数，

则有，

因为x3+x4=﹣，x3x4=，

所以有．

当a＞0时有，

所以结合两式可得（a﹣a2）α2＜0，

解得：a＞1或a＜0（舍去）．

当a＜0时有，

所以所以结合两式可得（a﹣a2）α2＞0，

解得：0＜a＜1（舍去）．

综上可得a的取值范围为（1，+∞）．

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函数的概念及其构成要素

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

11．函数的图像关于直线对称的充要条件是（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．生产某一配件需经过三道工序，设第一．二．三道工序的次品率分别为．．，且各道工序互不影响，则加工出来的配件的次品率为（）。

正确答案

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函数的概念及其构成要素

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．已知为定义在上的奇函数，且当时，（为常数），则（）

A

B

C

D

正确答案

D

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函数的概念及其构成要素

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．下列四类函数中，满足性质“对任意的实数．，函数满足 ”的是（）

A幂函数

B指数函数

C对数函数

D余弦函数

正确答案

C

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函数的概念及其构成要素

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

17．函数对任意实数恒有，且是三角形的一个内角，则的取值范围是（）。

正确答案

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函数的概念及其构成要素

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

13．函数的单调递减区间是（）。

正确答案

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函数的概念及其构成要素

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

16．对于实数x．y，定义新运算，其中a．b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若，则（）。

正确答案

2010

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函数的概念及其构成要素

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