函数的概念与基本初等函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

10．若对任意实数、都有

，则_______。

正确答案

-243

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函数的概念及其构成要素

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当时，。若方程恰好有5个不同的解，则实数的取值范围是_______________。

正确答案

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函数的概念及其构成要素

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．已知函数，求此函数在区间上的最大值和最小值，并求取得最值时的值。

正确答案

当时，

当即时，

有最大值为

当即时，

有最大值为

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函数的概念及其构成要素

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知函数.

（1）求函数的最大值；

（2）若函数与有相同极值点，

①求实数的值；

②若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

（1），

由得；由得.

在上为增函数，在上为减函数.

函数的最大值为.

（2）.

①由（1）知，是函数的极值点，

又函数与有相同极值点，是函数的极值点，

，解得.

经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意.

②，

易知，即.

.

由①知.

当时，；当时，.

故在上为减函数，在上为增函数.

，

而.

.

当，即时，对于，不等式恒成立.

，

.

当，即时，对于，不等式恒成立.

，

.

综上，所求实数的取值范围为.

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 选修4－1：几何证明选讲

已知与圆相切于点,经过点的割线交圆于点,的平分线分别交于点.

（1）证明:；

（2）若,求的值.

23.选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；

（2）设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.

24.选修4—5：不等式选讲

已知常数满足，解关于的不等式：.

正确答案

22.（1）∵ PA是切线,AB是弦,∴ ∠BAP=∠C,

又 ∵ ∠APD=∠CPE,

∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED.

(2)由(1)知∠BAP=∠C,

又 ∵ ∠APC=∠BPA,

∴ △APC∽△BPA, ∴,

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴ ∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°. 在Rt△ABC中,=, ∴ =.

23.解：(1) 对于曲线的方程为，

可化为直角坐标方程，即；

对于曲线的参数方程为（为参数），

可化为普通方程.

(2) 过圆心点作直线的垂线，此时两切线成角最大，即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知，

，则，因此，

因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是.

24. 解: （1）若，则

因为，所以

（2）若，则

因为，所以

因为，所以，所以.

综上，有由（1）（2）可知，解集为.

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.若与圆的两个交点关于对称，则的值分别为（）

A

B

C

D

正确答案

B

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题型：单选题

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单选题 · 4 分

16．函数的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）

A

B

C

D

正确答案

D

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.直线与圆相交于，两点，且,则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

A

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.正定中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。现将800名学生从1到800进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从中应取的数是___________

正确答案

55

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

20. 在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线.

（1）写出的方程；

（2）设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点,，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围。

正确答案

（1）由题设知,

根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，

设其方程为

则，，，所以的方程为.

（2）依题设直线的方程为.将代入并整理得，

. .

设，，则，

设的中点为，则，，

即.

因为，所以直线的垂直平分线的方程为，

令解得，，

当时，因为，所以；

当时，因为，所以.

综上得点纵坐标的取值范围是.

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.函数的定义域为实数集，，对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

10. 函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为（）

A

B

C

D

正确答案

C

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

15. 在正三棱锥A﹣BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE且，若此正三

棱锥的四个顶点都在球O的面上，则球O的体积为__________．

正确答案

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21. 已知函数注：

（1）求的单调区间；

（2）如果当且时，恒成立，求实数的范围。

正确答案

（1）定义域为

设

① 当时，对称轴，，所以在上是增函数

② 当时，，所以在上是增函数

③ 当时，令得

令解得；令解得

所以的单调递增区间和；的单调递减区间

（2）可化为（※）

设，由（1）知：

① 当时，在上是增函数

若时，；所以

若时，。所以

所以，当时，※式成立

② 当时，在是减函数，所以※式不成立

综上，实数的取值范围是．

解法二：可化为

设

令

,

所以在

由洛必达法则所以

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．已知，那么下列命题成立的是（）

A若、是第一象限角，则．

B若、是第二象限角，则．

C若、是第三象限角，则．

D若、是第四象限角，则．

正确答案

D

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