- 函数单调性的判断与证明
- 共139题
在下列直线中,与非零向量垂直的直线是
正确答案
解析
略
知识点
已知 表示平面,m,n表示直线,
,给出下列四个结论:
① ;②
;③
;④
,
则上述结论中正确的个数为
正确答案
解析
略
知识点
已知函数,
,
。
(1)若,试判断并用定义证明函数
的单调性;
(2)当时,求证:函数
存在反函数。
正确答案
见解析
解析
(1)判断:若,函数
在
上是增函数.
证明:当时,
,
在
上是增函数.
在区间上任取
,设
,
所以,即
在
上是增函数.
(2)因为,所以
当时,
在
上是增函数,
证明:当时,
在
上是增函数(过程略)
在在
上也是增函数
当时,
上是增函数
所以任意一个,均能找到唯一的
和它对应,
所以时,
存在反函数
知识点
在实数集中定义一种运算“
”,对任意
,
为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意,
;
(2)对任意,
。
关于函数的性质,有如下说法:①函数
的最小值为
;②函数
为偶函数;③函数
的单调递增区间为
。
其中所有正确说法的个数为
正确答案
解析
略
知识点
下列函数中,在区间上为增函数的是( )
正确答案
解析
由初等函数的性质得选项B在上递减,选项C、D在
为减函数,所以排除B、C、D.
知识点
下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是
正确答案
解析
略
知识点
下列函数中,在区间上为增函数的是( )
正确答案
解析
函数的图像可由函数
的图像向左平移
个单位得到,显然满足题意。
知识点
关于函数,有下列命题:
①其图象关于y轴对称;
②当是增函数;当
是减函数;
③的最小值是
;
④在区间
上是增函数;
⑤无最大值,也无最小值.
其中所有正确结论的序号是_____________.
正确答案
解析
略
知识点
下列函数中,在内单调递减,并且是偶函数的是( )。
正确答案
解析
因为在
上是单调递增,故A错;因为
在
上单调递增且为非奇非偶函数,故B错;同理D错。
知识点
已知函数,其中
且
.
(1)讨论的单调性;
(2) 若不等式恒成立,求实数
取值范围;
(3)若方程存在两个异号实根
,
,求证:
正确答案
见解析。
解析
(1)的定义域为
.
其导数
①当时,
,函数在
上是增函数;
②当时,在区间
上,
;在区间(0,+∞)上,
。
所以,在
是增函数,在(0,+∞)是减函数.
(2)当时, 则
取适当的数能使
,比如取
,
能使, 所以
不合题意
当时,令
,则
问题化为求恒成立时
的取值范围.
由于
在区间
上,
;在区间
上,
.
的最小值为
,所以只需
即,
,
(3)由于存在两个异号根
,不仿设
,因为
,所以
构造函数:(
)
所以函数在区间
上为减函数.
,则
,
于是,又
,
,由
在
上为减函数可知
.即
知识点
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