- 函数单调性的判断与证明
- 共139题
在下列直线中,与非零向量垂直的直线是
正确答案
解析
略
知识点
已知 表示平面,m,n表示直线, ,给出下列四个结论:
① ;② ;③;④ ,
则上述结论中正确的个数为
正确答案
解析
略
知识点
已知函数,,。
(1)若,试判断并用定义证明函数的单调性;
(2)当时,求证:函数存在反函数。
正确答案
见解析
解析
(1)判断:若,函数在上是增函数.
证明:当时,,
在上是增函数.
在区间上任取,设,
所以,即在上是增函数.
(2)因为,所以
当时,在上是增函数,
证明:当时,在上是增函数(过程略)
在在上也是增函数
当时,上是增函数
所以任意一个,均能找到唯一的和它对应,
所以时,存在反函数
知识点
在实数集中定义一种运算“”,对任意,为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意,;
(2)对任意,。
关于函数的性质,有如下说法:①函数的最小值为;②函数为偶函数;③函数的单调递增区间为。
其中所有正确说法的个数为
正确答案
解析
略
知识点
下列函数中,在区间上为增函数的是( )
正确答案
解析
由初等函数的性质得选项B在上递减,选项C、D在为减函数,所以排除B、C、D.
知识点
下列函数中,既是奇函数又在区间上单调递增的是
正确答案
解析
略
知识点
下列函数中,在区间上为增函数的是( )
正确答案
解析
函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到,显然满足题意。
知识点
关于函数,有下列命题:
①其图象关于y轴对称;
②当是增函数;当是减函数;
③的最小值是;
④在区间上是增函数;
⑤无最大值,也无最小值.
其中所有正确结论的序号是_____________.
正确答案
解析
略
知识点
下列函数中,在内单调递减,并且是偶函数的是( )。
正确答案
解析
因为在上是单调递增,故A错;因为在上单调递增且为非奇非偶函数,故B错;同理D错。
知识点
已知函数,其中且.
(1)讨论的单调性;
(2) 若不等式恒成立,求实数取值范围;
(3)若方程存在两个异号实根,,求证:
正确答案
见解析。
解析
(1)的定义域为.
其导数
①当时,,函数在上是增函数;
②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,。
所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数.
(2)当时, 则取适当的数能使,比如取,
能使, 所以不合题意
当时,令,则
问题化为求恒成立时的取值范围.
由于
在区间上,;在区间上,.
的最小值为,所以只需
即,,
(3)由于存在两个异号根,不仿设,因为,所以
构造函数:()
所以函数在区间上为减函数. ,则,
于是,又,,由在上为减函数可知.即
知识点
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