函数单调性的判断与证明
共139题

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函数单调性的判断与证明
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题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数则

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程，那么正确的选项是（）

Ay=f(x)是区间（0，）上的减函数，且x+y

By=f(x)是区间（1，）上的增函数，且x+y

Cy=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y

Dy=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明利用基本不等式求最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

“函数在(0，+)上是增函数”是“函数在(1，+)上是增函数”的（）

A充分但不必要条件

B必要但不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

略

知识点

充要条件的判定函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数的定义域是D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个

条件：①； ②； ③.

则（），（）.

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

9。

则的值为（）

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有（）种。

正确答案

144

解析

略

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，（为常数，为自然对数的底）。

（1）当时，求；

（2）若在时取得极小值，试确定的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（为确定的常数）相切，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）当时，。，所以。

（2）。

令，得或，当，即时，恒成立，

此时在区间上单调递减，没有极小值；

当，即时，若，则，若，则，所以是函数的极小值点，

当，即时，若，则，若，则，此时是函数的极大值点。

综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是，

（3）由（2）知当，且时，，

因此是的极大值点，极大值为，所以，

，令。

则恒成立，即在区间上是增函数。

所以当时，，即恒有，又直线的斜率为，

所以曲线不能与直线相切。

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：

①P、Q都在函数的图像上；②P、Q关于原点对称.则称点对[P, Q]是函数的一对“友好点对”（注：点对[P, Q]与[Q , P]看作同一对“友好点对”）.已知函数，则此函数的“友好点对”有（）对

正确答案

解析

略

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数

的零点为，则下列不等式中成立的是

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知二次函数，关于的不等式

的解集为，其中为非零常数.设.

（1）求的值；

（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；

（3）若，且，求证：N.

正确答案

见解析。

解析

（1）解：∵关于的不等式的解集为，

即不等式的解集为，

∴.

(2)解法1:由(1)得.

∴的定义域为.

∴.

方程（*）的判别式

. ①当时，，方程（*）的两个实根为

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增。

∴函数有极小值点.

②当时，由,得或，

若，则

故时，，

∴函数在上单调递增。

∴函数没有极值点.

若时，

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

∴函数有极小值点，有极大值点.综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定义域为.

∴.

若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且

至少有一个零点在上.

令,

得, (*)

则,(**)

方程（*）的两个实根为, .

设,

①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增。

∴函数有极小值点.

②若,则得

又由(**)解得或,

故.

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。

∴函数有极小值点，有极大值点.

综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.

(其中, )

(2)证法1：∵， ∴.

∴

令，

则

∵，

∴ ……11分

…12分

∴，即.

证法2：下面用数学归纳法证明不等式.

① 当时，左边，右边，不等式成立；

② 假设当N时，不等式成立，即，

则

也就是说，当时，不等式也成立。

由①②可得，对N，都成立。

知识点

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