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  • 函数单调性的判断与证明
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  • 函数单调性的判断与证明
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1
题型：填空题
|
填空题 · 5 分

14.如图, 在中,,是边上一点,,则的长为_____________。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

9．若函数在上单调递减，则可以是（     ）

A1

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型：简答题
|
简答题 · 16 分

20．设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R。

（1）若=0，求函数f（x）的单调增区间；

（2）求证：当0≤x≤1时，||≤．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）

正确答案

解析

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知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型：填空题
|
填空题 · 5 分

4．函数单调递减区间是（    ）

正确答案

解析

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知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型：简答题
|
简答题 · 10 分

24．已知函数。

（1）若函数在处取极值，求的值；

（2）如图，设直线将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数图象恰好位于其中一个区域内，试判断其所在的区域并求其对应的取值范围；

（3）试比较与的大小，并说明理由。

正确答案

解析

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知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

5.若M=+,N=+,则M,N的大小关系是（　　）.

AM<N

BM=N

CM>N

D由a的取值确定

正确答案

A

解析

假设M<N成立.要证M<N,因为M,N都是非负数,只需证M2<N2,

即证(+)2<(+2,

即证<,

即证4<6,这显然成立,故选A

知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

2.已知c>b,且f(x)在两个区间[a,b],[c,d]上都是增函数,若补充条件使得f(x)在集合[a,b]∪[c,d]上也是增函数,则应补充的条件是（　　　）

Af(c)>f(a)

Bf(d)>f(b)

Cf(c)>f(b)

Df(d)>f(a)

正确答案

C

解析

由题意,任取且x1<x2.

①若x1,x2∈[a,b],由f(x)在[a,b]是增函数,

必有f(x1)<f(x2)成立;

②若x1,x2∈[c,d],由f(x)在[c,d]是增函数,

必有f(x1)<f(x2)成立;

③若a≤x1≤b<c≤x2≤d,

由题设知f(x1)<f(b)且f(c)≤f(x2),

又∵f(b)<f(c),

∴f(x1)<f(x2).

综上所述,f(x)在上是增函数.

知识点

函数的单调性及单调区间函数单调性的判断与证明抽象函数及其应用
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

6.设λ,μ都是非零数,且满足=tan,若类比公式tan（α+β）=,则=（　　）.

A-1

B1

C

D

正确答案

B

解析

由已知可得tan==tan(+θ),其中tan θ=,所以+θ=kπ+,k∈Z,即θ=kπ+,k∈Z,则=tan(kπ+)=1,故选B

知识点

函数单调性的判断与证明
1
题型：简答题
|
简答题 · 16 分

20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设 ，则 .

在 上是增函数，所以当时， .

即当时，..

      

  

   .

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数单调性，根据函数的零点求参数的取值范围。

解题思路

1利用导数求函数单调性，2根据函数的零点求参数的取值范围

3构造函数求两个零点和的范围

易错点

本题必须注意函数的定义域，以及对参数进行讨论，否则求解错误。

知识点

函数单调性的判断与证明函数零点的判断和求解导数的运算
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

12．已知定义在R上的奇函数的图象为一条连续不断的曲线，，，且当0 < x < 1时，的导函数满足：，则在上的最大值为（  ）

Aa

B0

C-a

D2016

正确答案

C

解析

由可知函数的对称轴为x = 1，由是定义在R上的奇函数可知的图像过原点，令，则，因此是减函数，在（0，1）上为减函数，据此可以画出的草图（如图）,易知是周期为4的周期函数，于是，在上单调递减，其最大值为，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了函数的单调性、周期性、奇偶性等性质，同时考察了数形结合思想，该类综合性在近几年各省的高考试题中频繁出现，需要引起重视。

解题思路

根据题目中的信息画出符合条件的函数的草图，结合草图利用函数的周期性予以解决。

易错点

本题容易因为不理解这一条件所反映的信息而无法做答。

知识点

函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义导数的运算
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