函数单调性的判断与证明_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）

A0

B

C

D

正确答案

C

解析

B

由得关于对称，

而也关于对称，

∴对于每一组对称点，

∴，故选B．

考查方向

本题主要考查了函数图象的对称性等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的图像、性质等知识点交汇命题。

解题思路

根据已知条件判断出函数的对称中心，再利用对称性即可求出的值。

易错点

不能由判断出函数的对称性导致出错。

知识点

函数单调性的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

10．设为，的反函数，则的最大值为．

正确答案

4

解析

由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为

考查方向

本题主要考查了反函数与原函数之间性质的区别于联系

解题思路

反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值，本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域，反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值.

易错点

求f(x)

知识点

函数单调性的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

(I)讨论函数的单调性，并证明当 >0时，

(II)证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.

正确答案

（Ⅰ）的定义域为.

且仅当时，，所以在单调递增，

因此当时，

所以

（II）

由（I）知，单调递增，对任意

因此，存在唯一使得即，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

因此在处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增

所以，由得

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有，的值域是

知识点

函数的值域函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义导数的运算

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

根据条件知P, Q的横坐标互为相反数，不妨设P(－t, t3＋t2), B(t, f(t)(t＞0)

若t＜e，则f(t)＝－t3＋t2,

由∠POQ是直角得＝0，即－t2＋( t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，

即t4－t2＋1＝0.此时无解；

若t≥1，则f(t)＝alnx,.由于PQ的中点在y轴上，且∠POQ是直角，

所以Q点不可能在x轴上，即t≠1.

同理＝0，即－t2＋( t3＋t2)·alnx＝0，

整理后得实数a的取值范围是

考查方向

本题主要考查了分类讨论的思想,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数单调性、值域、奇偶性、向量等知识点交汇命题。

解题思路

利用垂直的条件即数量积为0是本题破题的关键，同时对变量进行分类讨论，转化为求函数的值域问题。

易错点

1、是以为直角顶点的直角三角形这个条件如何准确地转化。

2、分类讨论的标准，如何不重复、不遗漏。

知识点

函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.若都是正数，则的最小值为（）

A7

B8

C9

D10

正确答案

C

解析

考查方向

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

解题思路

利用基本不等式的性质、转化思想；综合法；不等式．即可得出

易错点

容易出现a,b相等的条件，选择答案D。

知识点

函数单调性的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设函数（e是自然对数的底数）.

27．若，求的单调区间；

28.若在内无极值，求a的取值范围；

29.设，求证：.

注：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

借助导函数的正负直接求出单调区间

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

根据在内无极值→在内单调→在恒正或者恒负，进而使用提参的方式得出结果

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了数学归纳法，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

本题解题思路

借助第二问的结论使用数学归纳法证明结论

易错点

本题易错在第二问中的信息转化：函数在单调，第三问选错题方向

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设，则 .

在上是增函数，所以当时， .

即当时，..

.

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数单调性，根据函数的零点求参数的取值范围。

解题思路

1利用导数求函数单调性，2根据函数的零点求参数的取值范围

3构造函数求两个零点和的范围

易错点

本题必须注意函数的定义域，以及对参数进行讨论，否则求解错误。

知识点

函数单调性的判断与证明函数零点的判断和求解

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．下列函数中，既是偶函数，又在上是单调减函数的是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由函数的奇偶性及单调性的性质可知，B和D选项为偶函数，又知，D选项在上不是单调函数，所以此题选B.

考查方向

函数的单调性；函数的奇偶性

解题思路

根据函数单调性及奇偶性的性质，逐个选项判断

易错点

函数单调性判断错误，函数奇偶性判断错误

知识点

函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

是奇函数，但是在上是增函数，所以A错误；关于对称，所以它不是奇函数，B错误；定义域为，又因为，所以，是奇函数，又因为，当时，单调递减的，外层函数单调递增，所以在单调递减，C正确；，是奇函数，由对勾函数的性质可知函数在单调递增，D错误，所以选C选项.

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性和单调性.

解题思路

1.分别判断四个选项函数的奇偶性2.分别判断满足奇函数性质的函数的单调性.

易错点

本题学生们对一些复合函数的性质判断上容易出现错误.

知识点

函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知且，函数设函数的最大值为,最小值为,则 ( )．

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设则为奇函数，所以

所以

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算性质等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

1.先将函数化简为两个奇函数和一个常数函数的和的形式；2.利用奇函数在对称的区间上单调性相同得到后即可得到。

易错点

1.不知道将函数转化为若干奇函数的和的形式，导致无法处理题中给出的函数；2.不知道是奇函数，导致找不到解决问题的突破点。

知识点

函数单调性的判断与证明函数性质的综合应用导数的几何意义

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正确答案

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易错点

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