函数单调性的判断与证明
共139题

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函数单调性的判断与证明
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题型：单选题

单选题 · 5 分

右图所示的是根据输入的值计算的值的程序框图，若依次取数列中的项，则所得值的最小值为

C16

D32

正确答案

解析

，（当n＝4时，“＝”成立），即x≥8，

所以，y≥16，选C。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC。

（1）求证：CE·EB = EF·EP；

（2）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长。

正确答案

见解析

解析

（1）∵，∴，

又∵，∴，∴∽

∴又∵，∴

（2），，

是⊙的切线，，

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中

①f(x)是奇是函数

②f(x)是周期函数 ,周期为2π

③f(x)的最小值为0 ,无最大值

④f(x)无最小值,最大值为sin1

正确的序号为

正确答案

③

解析

则,故①错。

故②错。

是单调递增的周函数，知,

故故③正确，易知④错。综上，正确序号为③。

知识点

命题的真假判断与应用函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义函数奇偶性的判断

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为___.

正确答案

解析

以A为坐标原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则

设，则，

解得，所以.

由于，当时，

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

设映射是集合到集合的映射。若对于实数，在中不存在对应的元素，则实数的取值范围是

正确答案

B,D

解析

当时，，所以实数的取值范围是。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数的图象在x=2处的切线与直线x－5y－12=0垂直。

（1）求函数的极值与零点；

（2）设，若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围；

（3）若，，，且，证明：

正确答案

见解析

解析

解析：（1）因为，所以，

解得：或，又，所以， ………2分

由，解得，，列表如下：

所以，， ………4分

因为，

所以函数的零点是。 ………5分

（2）由（1）知，当时，，

“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值大于在上的最小值，即当时，”， ………6分

因为，

① 当时，因为，所以，符合题意；

② 当时，，所以时，，单调递减，

所以，符合题意；

③ 当时，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，，

令（），则，所以在上单调递增，所以时，，即，

所以，符合题意。

综上所述，若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是。 ………10分

（3）证明：由（2）知，当时，，即，

当，，，且时，，，，

所以

又因为，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

当且仅当时取等号， ………14分

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知实数a,b满足，则函数f(x)= 的两个极值点都在(0,1)内的概率为

正确答案

解析

不等式表示正方形，其面积为4；易知，若函数f(x)= 的两个极值点都在(0,1)内，需满足：，此约束条件表示的面内（在正方形内的部分）为，故所求的概率为。

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

对于函数，下列说法正确的是

A ‍是奇函数且在（）上递增

B是奇函数且在（）上递减

C是偶函数且在（）上递增

D是偶函数且在（）上递减

正确答案

解析

略

知识点

命题的真假判断与应用函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的图象是

正确答案

解析

由于函数是偶函数，所以排除A选项；由f（2）≈7.3984-4=3.3984，f（3）≈20.1384-9=11.1384，f（4）≈54.7765-16=38.7765，可排除C，B，故选D.

知识点

函数单调性的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是( )

正确答案

解析

略

知识点

函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断

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