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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设α、β是两个不同的平面,m、n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是   (    )

Am∥且n∥

Bm∥β且n∥

Cm∥β且n∥β

Dm∥β且∥α

正确答案

A

解析

因为是平面内的两条相交直线,且m∥且n∥,所以根据面面平行的判定定理可知α∥β,反之未必成立,答案选A.

知识点

函数单调性的性质
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知数列.如果数列满足

,其中,则称的“生成数列”。

(1)若数列的“生成数列”是,求

(2)若为偶数,且的“生成数列”是,证明:的“生成数列”是

(3)若为奇数,且的“生成数列”是的“生成数列”是,….依次将数列

,…的第项取出,构成数列.

证明:是等差数列。

正确答案

见解析

解析

(1)解:由题意得: ;

.

(2)因为

……  

由于为偶数,将上述个等式中的第个式子都乘以,相加得

      即.

由于

根据“生成数列”的定义知,数列的“生成数列”.

(3)证法一:

证明:设数列,,中后者是前者的“生成数列”.欲证成等差数列,只需证明成等差数列,即只要证明即可.

由(2)中结论可知

所以,,即成等差数列,

所以是等差数列.

证法二:

因为

所以 .

所以欲证成等差数列,只需证明成等差数列即可.

对于数列及其“生成数列”

因为

……

由于为奇数,将上述个等式中的第个式子都乘以

相加得

      即.

设数列的“生成数列”为,因为

所以 , 即成等差数列。

同理可证,也成等差数列。 即 是等差数列。

所以 成等差数列.      

知识点

函数单调性的性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

为实数,则“<1”是“0<”的

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

,所以,所以“” 是“”的必要而不充分条件,选B.

知识点

函数单调性的性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

执行如图所示的程序框图,输出的S值为

A3

B—6

C10

D-15

正确答案

C

解析

第一次循环为:,第二次循环为:,第三次循环为:,第四次循环为:,第五次循环条件不成立,输出,答案选C.

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知向量=(2cosωx,-1), =(sinωx-cosωx,2),函数f(x)= ·+3的周期为π。

(1) 求正数ω;

(2) 若函数f(x)的图像向左平移,再横坐标不变,纵坐标伸长到原来的倍,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调增区间.

正确答案

见解析。

解析

(1)f(x)=(2cosωx,-1)·(sinωx-cosωx,2)+3……………………………………………1分

=2cosωx(sinωx-cosωx)+1………………………………………………………2分

=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1………………………………………………………3分

=sin2ωx-cos2ωx……………………………………………………………… 4分

=sin………………………………………………………… 5分

∵T=π,且ω>0,∴ω=1.……………………………………………………… 6分

(2) 由(1)知:f(x)= sin……………………………………  7分

g(x)= ·sin=2sin2x…………………………………9分

∴2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z;……………………………………………10分

∴kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z;…………………………………………… 11分 ∴函数g(x)的单调增区间为,k∈Z.……………………12分

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图四棱锥中,底面是平行四边形,平面的中点.

(1)求证:平面

(2)试在线段上确定一点,使∥平面,并求三棱锥-的体积.

正确答案

见解析

解析

解:(1)证明:四边形是平行四边形,

平面,又平面.

(2)设的中点为,在平面内作,则平行且等于,连接,则四边形为平行四边形,

平面平面

∥平面中点时,∥平面.

的中点,连结,则平行且等于

平面平面

.

知识点

函数单调性的性质
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且抛物线y2=的焦点为F1.

(1) 求椭圆E的方程;

(2) 垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点,当以AB为直径的圆P与y轴相切时,求直线l的方程和圆P的方程.

正确答案

见解析。

解析

(1) 设椭圆E的方程为,…………………………… 1分

,①………………………………………………………… 2分

∵抛物线的焦点为F1

  ②………………………………………………………………3分

又a2=b2+c 2  ③

由①、②、③得a2=12,b2=6……………………………………………… 5分

所以椭圆E的方程为………………………………………… 6分

(2) 依题意,直线OC斜率为1,由此设直线l的方程为y=-x+m,………… 7分

代入椭圆E方程,得3x2-4mx+2m2-12=0. ………………………………… 8分

由Δ=16m2-12(2m2-12)=8(18-m2),得m2<18. ………………………………9分 记A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=………………10分

圆P的圆心为

半径…………………………1分

当圆P与y轴相切时,,则2x1x2=

,m2=9<18,m=±3………………………………12分

当m=3时,直线l方程为y=-x+3,此时,x1+x2=4,圆心为(2,1),半径为2,

圆P的方程为(x-2)2+(y-1)2=4;……………………………………………13分

同理,当m=-3时,直线l方程为y=-x-3,

圆P的方程为(x+2)2+(y+1)2=4…………………………………………… 14 分

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

为了了解某市工人开展体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂。

(1)从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;

(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。

正确答案

见解析。

解析

(I)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为…3分

所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2。…………6分

(2)设A1,A2为在A区中的抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,

C1,C2为在C区中抽得的2个工厂。                                                                 …………7分

这7个工厂中随机的抽取2个,全部的可能结果有种。…………8分

随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有A1,A2),A1,B2),A1,B1),

A1,B3)A1,C2),A1,C1),                                                                    …………9分

同理A2还能给合5种,一共有11种。                                                               …………10分

所以所求的概率为。                                                                                   …………12分

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数.

(1)求的最小正周期和最大值;

(2)求的单调增区间;

(3)求上的最小值.

正确答案

见解析。

解析

(1)           …………………………………………2分

所以最小正周期为,最大值为2                …………………………………………4分

(2) 由          …………………………………………5分

整理,得的单调增区间为:     ………………………8分

(3)当      ………………………10分

故当x=0时,上的最小值为-1     ……………………………………………12分

知识点

函数单调性的性质
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数,其中

(1)当时,求曲线在点处的切线方程;

(2)当时,求的单调区间;

(3)证明:对任意的在区间内均存在零点。

正确答案

见解析。

解析

(1)当时,

,  …………………………………2分

,

所以曲线在点处的切线方程为.         …………………………4分

(2),令,解得 …………………………6分

因为,以下分两种情况讨论:

(1)若变化时,的变化情况如下表:

所以,的单调递增区间是的单调递减区间是.………8分

(2)若,当变化时,的变化情况如下表:

所以,的单调递增区间是的单调递减区间是

………………………………………………………………………………………10分

(3)由(2)可知,当时,内的单调递减,在内单调递增,

以下分两种情况讨论:

(1)当时,在(0,1)内单调递减,

.

所以对任意在区间(0,1)内均存在零点.      …………………………12分

(2)当时,内单调递减,在内单调递增,

,

.   所以内存在零点.

.

,                         所以内存在零点.     ……………………………………13分

所以,对任意在区间(0,1)内均存在零点.

综上,对任意在区间(0,1)内均存在零点.    ………………………………14分

知识点

函数单调性的性质
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