- 函数单调性的性质
- 共384题
设α、β是两个不同的平面,m、n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( )
正确答案
解析
因为是平面
内的两条相交直线,且m∥
且n∥
,所以根据面面平行的判定定理可知α∥β,反之未必成立,答案选A.
知识点
已知数列.如果数列
满足
,
,其中
,则称
为
的“生成数列”。
(1)若数列的“生成数列”是
,求
;
(2)若为偶数,且
的“生成数列”是
,证明:
的“生成数列”是
;
(3)若为奇数,且
的“生成数列”是
,
的“生成数列”是
,….依次将数列
,
,
,…的第
项取出,构成数列
.
证明:是等差数列。
正确答案
见解析
解析
(1)解:由题意得: ;
;
;
.
(2)因为 ,
,
,
…… ,
由于为偶数,将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
,相加得
即
,
.
由于,
,
根据“生成数列”的定义知,数列是
的“生成数列”.
(3)证法一:
证明:设数列,
,
中后者是前者的“生成数列”.欲证
成等差数列,只需证明
成等差数列,即只要证明
即可.
由(2)中结论可知 ,
,
所以,,即
成等差数列,
所以是等差数列.
证法二:
因为 ,
所以 .
所以欲证成等差数列,只需证明
成等差数列即可.
对于数列及其“生成数列”
,
因为 ,
,
,
…… ,
由于为奇数,将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
,
相加得
即
.
设数列的“生成数列”为
,因为
,
,
所以 , 即
成等差数列。
同理可证,也成等差数列。 即
是等差数列。
所以 成等差数列.
知识点
若、
为实数,则“
<1”是“0<
<
”的
正确答案
解析
,所以
,所以“
” 是“
”的必要而不充分条件,选B.
知识点
执行如图所示的程序框图,输出的S值为
正确答案
解析
第一次循环为:,第二次循环为:
,第三次循环为:
,第四次循环为:
,第五次循环条件不成立,输出
,答案选C.
知识点
已知向量=(2cosωx,-1),
=(sinωx-cosωx,2),函数f(x)=
·
+3的周期为π。
(1) 求正数ω;
(2) 若函数f(x)的图像向左平移,再横坐标不变,纵坐标伸长到原来的
倍,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调增区间.
正确答案
见解析。
解析
(1)f(x)=(2cosωx,-1)·(sinωx-cosωx,2)+3……………………………………………1分
=2cosωx(sinωx-cosωx)+1………………………………………………………2分
=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1………………………………………………………3分
=sin2ωx-cos2ωx……………………………………………………………… 4分
=sin
………………………………………………………… 5分
∵T=π,且ω>0,∴ω=1.……………………………………………………… 6分
(2) 由(1)知:f(x)= sin
…………………………………… 7分
g(x)= ·
sin
=2sin2x…………………………………9分
∴2kπ-≤2x≤2kπ+
,k∈Z;……………………………………………10分
∴kπ- ≤x≤kπ+
,k∈Z;…………………………………………… 11分 ∴函数g(x)的单调增区间为
,k∈Z.……………………12分
知识点
如图四棱锥中,底面
是平行四边形,
,
平面
,
,
,
是
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)试在线段上确定一点
,使
∥平面
,并求三棱锥
-
的体积.
正确答案
见解析
解析
解:(1)证明:四边形是平行四边形,
,
平面
,又
,
,
平面
.
(2)设的中点为
,在平面
内作
于
,则
平行且等于
,连接
,则四边形
为平行四边形,
∥
,
平面
,
平面
,
∥平面
,
为
中点时,
∥平面
.
设为
的中点,连结
,则
平行且等于
,
平面
,
平面
,
.
知识点
已知中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且抛物线y2=的焦点为F1.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点,当以AB为直径的圆P与y轴相切时,求直线l的方程和圆P的方程.
正确答案
见解析。
解析
(1) 设椭圆E的方程为,…………………………… 1分
则,①………………………………………………………… 2分
∵抛物线的焦点为F1
∴ ②………………………………………………………………3分
又a2=b2+c 2 ③
由①、②、③得a2=12,b2=6……………………………………………… 5分
所以椭圆E的方程为………………………………………… 6分
(2) 依题意,直线OC斜率为1,由此设直线l的方程为y=-x+m,………… 7分
代入椭圆E方程,得3x2-4mx+2m2-12=0. ………………………………… 8分
由Δ=16m2-12(2m2-12)=8(18-m2),得m2<18. ………………………………9分 记A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=
………………10分
圆P的圆心为,
半径…………………………1分
当圆P与y轴相切时,,则2x1x2=
,
即,m2=9<18,m=±3………………………………12分
当m=3时,直线l方程为y=-x+3,此时,x1+x2=4,圆心为(2,1),半径为2,
圆P的方程为(x-2)2+(y-1)2=4;……………………………………………13分
同理,当m=-3时,直线l方程为y=-x-3,
圆P的方程为(x+2)2+(y+1)2=4…………………………………………… 14 分
知识点
为了了解某市工人开展体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂。
(1)从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比,计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。
正确答案
见解析。
解析
(I)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为…3分
所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2。…………6分
(2)设A1,A2为在A区中的抽得的2个工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3个工厂,
C1,C2为在C区中抽得的2个工厂。 …………7分
这7个工厂中随机的抽取2个,全部的可能结果有种。…………8分
随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有A1,A2),A1,B2),A1,B1),
A1,B3)A1,C2),A1,C1), …………9分
同理A2还能给合5种,一共有11种。 …………10分
所以所求的概率为。 …………12分
知识点
已知函数.
(1)求的最小正周期和最大值;
(2)求的单调增区间;
(3)求在
上的最小值.
正确答案
见解析。
解析
(1) …………………………………………2分
所以最小正周期为,最大值为2 …………………………………………4分
(2) 由 …………………………………………5分
整理,得的单调增区间为:
………………………8分
(3)当,
………………………10分
故当x=0时,在
上的最小值为-1 ……………………………………………12分
知识点
已知函数,其中
。
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当时,求
的单调区间;
(3)证明:对任意的在区间
内均存在零点。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,
, …………………………………2分
,
所以曲线在点
处的切线方程为
. …………………………4分
(2),令
,解得
…………………………6分
因为,以下分两种情况讨论:
(1)若变化时,
的变化情况如下表:
所以,的单调递增区间是
的单调递减区间是
.………8分
(2)若,当
变化时,
的变化情况如下表:
所以,的单调递增区间是
的单调递减区间是
………………………………………………………………………………………10分
(3)由(2)可知,当时,
在
内的单调递减,在
内单调递增,
以下分两种情况讨论:
(1)当时,
在(0,1)内单调递减,
.
所以对任意在区间(0,1)内均存在零点. …………………………12分
(2)当时,
在
内单调递减,在
内单调递增,
若,
. 所以
内存在零点.
若.
, 所以
内存在零点. ……………………………………13分
所以,对任意在区间(0,1)内均存在零点.
综上,对任意在区间(0,1)内均存在零点. ………………………………14分
知识点
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