函数单调性的性质
共384题

· 函数单调性的性质

函数单调性的性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知向量

设函数

（1）求函数的最大值及此时x的集合；

（2）在A为锐角的三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且

的面积为3，求a的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）

…………4分

此时的集合为 …………6分

（2）由（1）可得

因为…………8分

…………10分

又

…………12分

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

在中，角、、的对边分别、、，已知，，

且.

（1）求角的大小；

（2）求的面积.

正确答案

见解析。

解析

（1）∵

∴

（舍）或 ………………………4分

…………………………………6分

（2）………………8分

又∵， ∴ ………………….10分

∴ ……………………12分

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数是定义在实数集R上的奇函数，当＞0时，

（1）已知函数的解析式；

（2）若函数在区间上是单调减函数，求a的取值范围；

（3）试证明对.

正确答案

见解析。

解析

（1） …………1分

时， …………3分

所以 …………4分

（2）函数是奇函数，则在区间上单调递减，当且仅当在区间上单调递减，当时， …………6分

由＜0得＜在区间（1，+）的取值范围为……（8分）

所以a的取值范围为…………………………………………………………（9分）

（3）……（10分）解得（11分），因为1＜e—1＜e，所以为所求………………………………………（12分）

知识点

函数解析式的求解及常用方法函数单调性的性质函数奇偶性的性质利用导数研究函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 16 分

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点。

（1）求直线的方程；

（2）求的值；

（3）设为常数，过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，分别交圆于点，记和的面积分别为，，求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）连结，则，且，

又，所以.[来源:学§科§网]

所以，所以直线的方程为.

（2）由（1）知，直线的方程为，的方程为，

联立解得.

因为，即，所以，，故椭圆的方程为.

由解得，

所以。

（3）不妨设的方程为，

联立方程组解得，

所以；

用代替上面的，得。

同理可得，，。

所以。

因为，

当且仅当时等号成立，所以的最大值为。

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，

（1）求的定义域；

（2）设是第四象限的角，且，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意，有cosx≠0，解得x≠kπ＋，………..2分

即的定义域为｛x|x，且x≠kπ＋，k｝---------4分

（2）＝－2sinx＋2cosx----------7分

由是第四象限的角，且可得sinα＝－，cosα＝-----------10分

∴＝－2sinα＋2cosα＝-------------12分

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

若实数a、b、c、d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为　　。

正确答案

解析

∵==1，

∴点P（a，b）是曲线f（x）=x2﹣2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x﹣4上的点，

∴|PQ|2=（a﹣c）2+（b﹣d）2。

要使|PQ|2最小，当且仅当过曲线y=x2﹣2lnx上的点P（a，b）且与线y=3x﹣4平行时。

∵f′（x）=2x﹣=（x＞0），

由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1。

∴当x=1时，f（x）取得极小值，为1。

作图如下：

∵f′（x）|x=a=2a﹣，直线y=3x﹣4的斜率k=3，

∴2a﹣=3，

∴a=2或a=﹣（由于a＞0，故舍去）。

∴b=22﹣2ln2=4﹣2ln2。

设点P（2，4﹣2ln2）到直线y=3x﹣4的距离为d，则d2==。

∵|PQ|2≥d2=，

∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为。

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求满足的最小正整数n。

正确答案

见解析。

解析

（1）设…………1分……3分

解得………5分

………………6分

（2）Sn=1+2+22+…+2n-1=2n-1……………7分

……………9分

∴ 2n>103………………………………10分

∵ 是正整数 ∴满足要求的最小正整数是7………………12分

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系。

对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：

由表中样本数据求得回归方程为，则点与直线的位置关系是

A点在直线左侧

B点在直线右侧

C点在直线上

D无法确定

正确答案

解析

样本数据的中心点为，在直线上，则

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

）函数，x∈[﹣π，0]的单调递增区间为　　。

正确答案

[﹣，0]

解析

∵x∈[﹣π，0]

∴x﹣∈[﹣，﹣]，

令z=x﹣，则z∈[﹣，﹣]，

∵正弦函数y=sinz在[﹣，﹣]上单调递增，

∴由﹣≤x﹣≤﹣得：

﹣≤x≤0。

∴函数f（x）=2sin（x﹣）在x∈[﹣π，0]的单调递增区间为[﹣，0]。

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R。

（1）若f（x）=1－且x∈[－，]，求x；

（2）若函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n）（|m|<）平移后得到函数y=f（x）的图,求实数m、n的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题设，f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+）。 ……………2分

由1+2sin（2x+）=1－，得sin（2x+）=－。……………4分

∵－≤x≤，∴－≤2x+≤，∴2x+=－，

即x=－。。……………6分

（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，

即函数y=f（x）的图象。。……………8分

由（1）得 f（x）=2sin2（x+）+1。

∵|m|<，∴m=－，n=1。。……………12分

知识点

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